2. (Unicamp 2024) A figura abaixo mostra uma pirâmide de um cubo que compartilha uma aresta da base da pirâmide. A pirâmide tem sua base bem como as bases do cubo, são quadrados de lados medindo 1m.

a) Um sólido é formado pela união desses dois objetos. Qual é seu volume?
b) Determine a distância do ponto A (vértice superior da pirâmide) ao ponto B (vértice frontal da base do cubo que não está na aresta com a pirâmide).

Question

2. (Unicamp 2024) A figura abaixo mostra uma pirâmide de um cubo que compartilha uma aresta da base da pirâmide. A pirâmide tem sua base bem como as bases do cubo, são quadrados de lados medindo 1m.

a) Um sólido é formado pela união desses dois objetos. Qual é seu volume?
b) Determine a distância do ponto A (vértice superior da pirâmide) ao ponto B (vértice frontal da base do cubo que não está na aresta com a pirâmide).

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos analisar cada parte:

### a) Volume do sólido

O sólido é formado por um cubo e uma pirâmide que compartilham uma aresta.

- **Volume do cubo**: 
  $$
  V_{\text{cubo}} = a^3 = 1^3 = 1 \, \text{m}^3
  $$

- **Volume da pirâmide**:
  - A base da pirâmide é um quadrado de lado 1 m.
  - A altura da pirâmide é 1 m (pois a altura é igual à aresta do cubo).
  $$
  V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{3} \times 1 \times 1 = \frac{1}{3} \, \text{m}^3
  $$

- **Volume total do sólido**:
  $$
  V_{\text{sólido}} = V_{\text{cubo}} + V_{\text{pirâmide}} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \, \text{m}^3
  $$

### b) Distância do ponto $ A $ ao ponto $ B $

- O ponto $ A $ é o vértice superior da pirâmide.
- O ponto $ B $ é o vértice da base do cubo que não está na aresta comum com a pirâmide.

Para calcular a distância entre $ A $ e $ B $, considere que $ A $ está no topo da pirâmide, diretamente acima do centro da base da pirâmide (que é também o centro da face do cubo).

- Coordenadas de $ A $: $ (0.5, 0.5, 1) $
- Coordenadas de $ B $: $ (1, 0, 0) $

A distância $ d $ entre dois pontos $ (x_1, y_1, z_1) $ e $ (x_2, y_2, z_2) $ é dada por:
$$
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
$$

Substituindo as coordenadas de $ A $ e $ B $:
$$
d = \sqrt{(1 - 0.5)^2 + (0 - 0.5)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{0.5^2 + (-0.5)^2 + (-1)^2}
$$
$$
d = \sqrt{0.25 + 0.25 + 1} = \sqrt{1.5}
$$

Portanto, a distância entre os pontos $ A $ e $ B $ é $\sqrt{1.5}$ metros.

2. (Unicamp 2024) A figura abaixo mostra uma pirâmide de um ...

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