20. (Enem 2018) Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.

Se a área do círculo inscrito no hexágono é $ 3 \pi $ metros quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é:
(A) 9
(B) $ 6 \sqrt{3} $
(C) $ 9 \sqrt{2} $
(D) 12
(E) $ 12 \sqrt{3} $

Question

20. (Enem 2018) Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto de cima, consiste de uma cama elástica com contorno em formato de um hexágono regular.

Se a área do círculo inscrito no hexágono é $ 3 \pi $ metros quadrados, então a área do hexágono, em metro quadrado, é:
(A) 9
(B) $ 6 \sqrt{3} $
(C) $ 9 \sqrt{2} $
(D) 12
(E) $ 12 \sqrt{3} $

Accepted Answer

**Resposta: B**

Para encontrar a área do hexágono, vamos primeiro determinar o lado do hexágono a partir da área do círculo inscrito.

A área do círculo é dada por:

$$ A_{\text{círculo}} = \pi r^2 $$

Sabemos que $ A_{\text{círculo}} = 3 \pi $, então:

$$ \pi r^2 = 3 \pi $$
$$ r^2 = 3 $$
$$ r = \sqrt{3} $$

O raio $ r $ do círculo inscrito é igual à altura do triângulo equilátero que forma o hexágono. A altura $ h $ de um triângulo equilátero com lado $ a $ é dada por:

$$ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} $$

Como $ h = r $:

$$ \frac{a \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $$
$$ a \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} $$
$$ a = 2 $$

Agora, podemos calcular a área do hexágono regular. A área de um hexágono regular com lado $ a $ é dada por:

$$ A_{\text{hexágono}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 $$

Substituindo $ a = 2 $:

$$ A_{\text{hexágono}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} (2)^2 $$
$$ A_{\text{hexágono}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot 4 $$
$$ A_{\text{hexágono}} = 6 \sqrt{3} $$

Portanto, a área do hexágono é $ 6 \sqrt{3} $ metros quadrados.

**Resposta: B**

20. (Enem 2018) Um brinquedo chamado pula-pula, quando visto...

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