21 Na Fig. 17-37, dois alto-falantes separados por uma distância $d_1$ = 2,00 m estão em fase. Suponha
que as amplitudes das ondas sonoras emitidas pelos alto-falantes são aproximadamente iguais para um
ouvinte que se encontra diretamente à frente do alto-falante da direita, a uma distância $d_2$ = 3,75 m.
Considere toda a faixa de audição de um ser humano normal, 20 Hz a 20 kHz. (a) Qual é a menor
frequência, $f_{mín,1}$, para a qual a intensidade do som é mínima (interferência destrutiva) na posição do
ouvinte? Por qual número a frequência $f_{mín,1}$ deve ser multiplicada para se obter (b) a segunda menor
frequência, $f_{mín,2}$, para a qual a intensidade do som é mínima e (c) a terceira menor frequência, $f_{mín,3}$, para
a qual a intensidade do som é mínima? (d) Qual é a menor frequência, $f_{máx,1}$, para a qual a intensidade do
som é máxima (interferência construtiva) na posição do ouvinte? Por que número $f_{máx,1}$ deve ser
multiplicada para se obter (e) a segunda menor frequência, $f_{máx,2}$, para a qual a intensidade do som é
máxima e (c) a terceira menor frequência, $f_{máx,3}$, para a qual a intensidade do som é máxima?

Question

Accepted Answer

Aqui estão as soluções para o problema:

### Parte (a):

Para interferência destrutiva (mínima), a diferença de caminho deve ser um múltiplo ímpar de meio comprimento de onda:
$$
\Delta d = (n + \frac{1}{2})\lambda, \quad n = 0, 1, 2, ...
$$
Onde $\Delta d = |d_2 - d_1| = |3.75 m - 2.00 m| = 1.75 m$.

Para a menor frequência $f_{min,1}$, $n = 0$:
$$
1.  75 = \frac{1}{2}\lambda \Rightarrow \lambda = 3.5 m
$$
Usando $v = \lambda f$, onde $v \approx 343 m/s$ (velocidade do som no ar):
$$
f_{min,1} = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{3.5} = 98 Hz
$$

### Parte (b):

Para a segunda menor frequência $f_{min,2}$, $n = 1$:
$$
1.  75 = (1 + \frac{1}{2})\lambda \Rightarrow 1.75 = \frac{3}{2}\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3} 	imes 1.75 = \frac{3.5}{3} m
$$
$$
f_{min,2} = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{\frac{3.5}{3}} = \frac{3 	imes 343}{3.5} = 3 	imes 98 = 294 Hz
$$
Então, $f_{min,2} = 3 	imes f_{min,1}$.

### Parte (c):

Para a terceira menor frequência $f_{min,3}$, $n = 2$:
$$
1.  75 = (2 + \frac{1}{2})\lambda \Rightarrow 1.75 = \frac{5}{2}\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{2}{5} 	imes 1.75 = \frac{3.5}{5} m
$$
$$
f_{min,3} = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{\frac{3.5}{5}} = \frac{5 	imes 343}{3.5} = 5 	imes 98 = 490 Hz
$$
Então, $f_{min,3} = 5 	imes f_{min,1}$.

### Parte (d):

Para interferência construtiva (máxima), a diferença de caminho deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
$$
\Delta d = n\lambda, \quad n = 0, 1, 2, ...
$$
Para a menor frequência $f_{max,1}$, $n = 1$:
$$
1.  75 = 1\lambda \Rightarrow \lambda = 1.75 m
$$
$$
f_{max,1} = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{1.75} = 196 Hz
$$

### Parte (e):

Para a segunda menor frequência $f_{max,2}$, $n = 2$:
$$
1.  75 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1.75}{2} m
$$
$$
f_{max,2} = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{\frac{1.75}{2}} = \frac{2 	imes 343}{1.75} = 2 	imes 196 = 392 Hz
$$
Então, $f_{max,2} = 2 	imes f_{max,1}$.

### Parte (f):

Para a terceira menor frequência $f_{max,3}$, $n = 3$:
$$
1.  75 = 3\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{1.75}{3} m
$$
$$
f_{max,3} = \frac{v}{\lambda} = \frac{343}{\frac{1.75}{3}} = \frac{3 	imes 343}{1.75} = 3 	imes 196 = 588 Hz
$$
Então, $f_{max,3} = 3 	imes f_{max,1}$.

**Respostas:**

*   **(a)** $f_{min,1} = 98 Hz$
*   **(b)** Multiplicar por 3
*   **(c)** Multiplicar por 5
*   **(d)** $f_{max,1} = 196 Hz$
*   **(e)** Multiplicar por 2
*   **(f)** Multiplicar por 3

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