21. Sabendo que $ \alpha $ é a medida de um ângulo agudo tal que $ \operatorname{tg} \alpha=\frac{12}{5} $, calcule:
a) $ \operatorname{sen} \alpha $;
b) $ \cos \alpha $
c) $ (\operatorname{sen} \alpha)^{2}+(\cos \alpha)^{2} $.
- Agora, responda: Quantos triângulos retângulos, com um ângulo agudo $ \alpha $ cuja $ \operatorname{tg} \alpha=\frac{12}{5} $, você acredita que possam ser construidos?

Q: 21. Sabendo que $ \alpha $ é a medida de um ângulo agudo tal que $ \operatorname{tg} \alpha=\frac{12}{5} $, calcule: a) $ \operatorname{sen} \alpha $; b) $ \cos \alpha $ c) $ (\operatorname{sen} \alpha)^{2}+(\cos \alpha)^{2} $. - Agora, responda: Quantos triângulos retângulos, com um ângulo agudo $ \alpha $ cuja $ \operatorname{tg} \alpha=\frac{12}{5} $, você acredita que possam ser construidos?

Para calcular os valores de $ \operatorname{sen} \alpha $ e $ \cos \alpha $ sabendo que $ \operatorname{tg} \alpha=\frac{12}{5} $, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental e a definição de tangente em um triângulo retângulo. ### a) $ \operatorname{sen} \alpha $ Sabemos que $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12}{5} $. Podemos considerar um triângulo retângulo onde o lado oposto ao ângulo $ \alpha $ tem comprimento 12 e o lado adjacente tem comprimento 5. Usando o Teorema de Pitágoras, o comprimento da hipotenusa (h) é: \[ h = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \] Portanto, $ \operatorname{sen} \alpha = \frac{\text{lado oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{12}{13} $. ### b) $ \cos \alpha $ Da mesma forma, $ \cos \alpha = \frac{\text{lado adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{5}{13} $. ### c) $ (\operatorname{sen} \alpha)^{2}+(\cos \alpha)^{2} $ Usando a identidade trigonométrica fundamental $ (\operatorname{sen} \alpha)^{2}+(\cos \alpha)^{2} = 1 $, podemos verificar isso com os valores encontrados: \[ (\frac{12}{13})^2 + (\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1 \] ### Quantos triângulos retângulos podem ser construídos? Independentemente das dimensões do triângulo retângulo, se um de seus ângulos agudos tem $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5} $, então a relação entre os lados permanece constante. Isso significa que podemos construir infinitos triângulos retângulos que satisfaçam essa condição, simplesmente escalando os lados enquanto mantemos as proporções de 12:5 para os lados que formam o ângulo $ \alpha $. Portanto, a resposta é que podemos construir infinitos triângulos retângulos com um ângulo agudo $ \alpha $ cuja tangente é $ \frac{12}{5} $.

Question

Accepted Answer

Para calcular os valores de $ \operatorname{sen} \alpha $ e $ \cos \alpha $ sabendo que $ \operatorname{tg} \alpha=\frac{12}{5} $, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental e a definição de tangente em um triângulo retângulo.

### a) $ \operatorname{sen} \alpha $

Sabemos que $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12}{5} $. Podemos considerar um triângulo retângulo onde o lado oposto ao ângulo $ \alpha $ tem comprimento 12 e o lado adjacente tem comprimento 5. Usando o Teorema de Pitágoras, o comprimento da hipotenusa (h) é:

$$ h = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 $$

Portanto, $ \operatorname{sen} \alpha = \frac{\text{lado oposto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{12}{13} $.

### b) $ \cos \alpha $

Da mesma forma, $ \cos \alpha = \frac{\text{lado adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{5}{13} $.

### c) $ (\operatorname{sen} \alpha)^{2}+(\cos \alpha)^{2} $

Usando a identidade trigonométrica fundamental $ (\operatorname{sen} \alpha)^{2}+(\cos \alpha)^{2} = 1 $, podemos verificar isso com os valores encontrados:

$$ (\frac{12}{13})^2 + (\frac{5}{13})^2 = \frac{144}{169} + \frac{25}{169} = \frac{169}{169} = 1 $$

### Quantos triângulos retângulos podem ser construídos?

Independentemente das dimensões do triângulo retângulo, se um de seus ângulos agudos tem $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{12}{5} $, então a relação entre os lados permanece constante. Isso significa que podemos construir infinitos triângulos retângulos que satisfaçam essa condição, simplesmente escalando os lados enquanto mantemos as proporções de 12:5 para os lados que formam o ângulo $ \alpha $. Portanto, a resposta é que podemos construir infinitos triângulos retângulos com um ângulo agudo $ \alpha $ cuja tangente é $ \frac{12}{5} $.

21. Sabendo que , você acredita que possam ser construidos?

Ask a question and receive an answer instantly