21. (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de perímetro ℓ. Se ela gira em torno de um de seus lados, gera uma superfície de área S igual ao produto de ℓ pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal. A figura a seguir mostra a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC.

a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área de sua superfície que é igual a 36π cm².

b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

Question

21. (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de perímetro ℓ. Se ela gira em torno de um de seus lados, gera uma superfície de área S igual ao produto de ℓ pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal. A figura a seguir mostra a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC.

a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área de sua superfície que é igual a 36π cm².

b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

Accepted Answer

Para resolver a questão, vamos analisar cada parte:

### a) Esboço da figura gerada e cálculo da área

Quando o triângulo gira em torno do lado $ BC $, ele gera um sólido de revolução. Neste caso, o sólido é um cone.

A área lateral $ S $ do cone gerado é dada por:

$$ S = 2\pi r \cdot \frac{\ell}{2} $$

Onde:
- $ r $ é a distância do baricentro $ G $ ao eixo de rotação.
- $ \ell $ é o perímetro do triângulo.

Sabemos que $ S = 36\pi \, \text{cm}^2 $.

### b) Cálculo da distância $ r $

O perímetro $ \ell $ do triângulo é a soma dos lados:

$$ \ell = AB + BC + CA = 4 + 3 + 5 = 12 \, \text{cm} $$

Substituindo na fórmula da área:

$$ 36\pi = 2\pi r \cdot \frac{12}{2} $$
$$ 36\pi = 12\pi r $$
$$ r = \frac{36\pi}{12\pi} = 3 \, \text{cm} $$

Portanto, a distância $ r $ do baricentro $ G $ ao eixo de rotação é $ 3 \, \text{cm} $.

21. (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita ...

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