21. (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de perímetro l. Se ela girar em torno de um dos lados, o seu produto de área é igual ao produto de r pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal. A figura a seguir mostra a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC.

a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área de sua superfície que é igual a 36π cm².

b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

Question

21. (UERJ) Uma linha poligonal fechada de três lados limita um triângulo de perímetro l. Se ela girar em torno de um dos lados, o seu produto de área é igual ao produto de r pelo comprimento da circunferência descrita pelo baricentro G da poligonal. A figura a seguir mostra a linha (ABCA) que dá uma volta em torno de BC.

a) Esboce a figura gerada e indique o cálculo da área de sua superfície que é igual a 36π cm².

b) Calcule a distância r do baricentro G dessa linha ao eixo de rotação.

Accepted Answer

Para resolver a questão, vamos analisar cada parte:

### a) Esboço e cálculo da área

Quando o triângulo gira em torno do lado $ BC $, ele gera um sólido de revolução. Neste caso, o sólido gerado é um cone.

A área da superfície lateral de um cone é dada por:

$$
S = \pi r g
$$

onde $ r $ é o raio da base do cone e $ g $ é a geratriz.

No triângulo dado, $ AB = 4 \, \text{cm} $ e $ BC = 3 \, \text{cm} $. A geratriz $ g $ é a hipotenusa $ AC $ do triângulo retângulo:

$$
g = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{cm}
$$

O raio $ r $ é o mesmo que $ AB = 4 \, \text{cm} $.

Assim, a área da superfície lateral é:

$$
S = \pi \times 4 \times 5 = 20\pi \, \text{cm}^2
$$

No entanto, a questão afirma que a área total gerada é $ 36\pi \, \text{cm}^2 $, considerando também as bases. Portanto, a área total inclui a base do cone:

Área da base do cone:

$$
A_{\text{base}} = \pi \times r^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \, \text{cm}^2
$$

Área total:

$$
S_{\text{total}} = 20\pi + 16\pi = 36\pi \, \text{cm}^2
$$

### b) Cálculo da distância $ r $ do baricentro $ G $

O baricentro $ G $ de um triângulo está localizado a uma distância de $ \frac{2}{3} $ do comprimento da mediana a partir de um vértice até o lado oposto.

Para o triângulo $ ABC $, a mediana $ m_a $ pode ser calculada usando a fórmula:

$$
m_a = \sqrt{\frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}}
$$

onde $ a = BC = 3 \, \text{cm} $, $ b = AC = 5 \, \text{cm} $, $ c = AB = 4 \, \text{cm} $.

Calculando:

$$
m_a = \sqrt{\frac{2 \times 5^2 + 2 \times 4^2 - 3^2}{4}}
= \sqrt{\frac{2 \times 25 + 2 \times 16 - 9}{4}}
= \sqrt{\frac{50 + 32 - 9}{4}}
= \sqrt{\frac{73}{4}}
= \sqrt{18.25}
= 4.27 \, \text{cm (aproximadamente)}
$$

A distância do baricentro $ G $ ao lado $ BC $ é:

$$
r = \frac{2}{3} \times m_a = \frac{2}{3} \times 4.27 \approx 2.85 \, \text{cm}
$$

Portanto, a distância $ r $ do baricentro ao eixo de rotação é aproximadamente $ 2.85 \, \text{cm} $.

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