22. Após bater um tiro de meta, no ponto A, o goleiro do Estrela
Futebol Clube notou que a bola descreveu um arco de pa-
rábola (linha tracejada da figura a seguir). Quando a bola
estava a 5 m de altura, tinha percorrido, horizontalmente,
10 m. Ela caiu no campo no ponto P, a 60 m do ponto de onde
o goleiro a tinha chutado. Qual foi a altura máxima h que a
bola atingiu? Sugestão: Associe à figura um eixo horizontal
no nível do campo e um eixo vertical pelo ponto A.
B

h
A
5 m
P
MRS Editorial

Question

22. Após bater um tiro de meta, no ponto A, o goleiro do Estrela
Futebol Clube notou que a bola descreveu um arco de pa-
rábola (linha tracejada da figura a seguir). Quando a bola
estava a 5 m de altura, tinha percorrido, horizontalmente,
10 m. Ela caiu no campo no ponto P, a 60 m do ponto de onde
o goleiro a tinha chutado. Qual foi a altura máxima h que a
bola atingiu? Sugestão: Associe à figura um eixo horizontal
no nível do campo e um eixo vertical pelo ponto A.
B

h
A
5 m
P
MRS Editorial

Accepted Answer

Para resolver este problema, podemos usar as informações fornecidas e a simetria da parábola para encontrar a altura máxima $ h $ que a bola atingiu.

1. **Definir o sistema de coordenadas:**
   - Coloque a origem do sistema de coordenadas no ponto A (onde o goleiro chuta a bola).
   - O eixo x representa a distância horizontal percorrida pela bola.
   - O eixo y representa a altura da bola.

2. **Identificar os pontos conhecidos:**
   - Ponto A (0, 0)
   - Quando a bola está a 5 m de altura, ela percorreu 10 m horizontalmente. Portanto, temos o ponto (10, 5).
   - A bola cai no ponto P, que está a 60 m de A. Portanto, o ponto P é (60, 0).

3. **Usar a simetria da parábola:**
   - A parábola é simétrica em relação ao seu vértice (o ponto de altura máxima).
   - O vértice está localizado no meio do caminho entre os pontos A e P no eixo x.
   - A coordenada x do vértice é $ \frac{0 + 60}{2} = 30 $ metros.

4. **Encontrar a equação da parábola:**
   - A forma geral de uma parábola é $ y = ax^2 + bx + c $.
   - Como a parábola passa pelo ponto A (0, 0), temos $ c = 0 $.
   - A equação se torna $ y = ax^2 + bx $.
   - Usamos os pontos (10, 5) e (60, 0) para encontrar os valores de $ a $ e $ b $.

- Para o ponto (10, 5):
     $$ 5 = a(10)^2 + b(10) $$
     $$ 5 = 100a + 10b $$
     $$ 1 = 20a + 2b $$   (Equação 1)

- Para o ponto (60, 0):
     $$ 0 = a(60)^2 + b(60) $$
     $$ 0 = 3600a + 60b $$
     $$ 0 = 60a + b $$
     $$ b = -60a $$   (Equação 2)

- Substituímos a Equação 2 na Equação 1:
     $$ 1 = 20a + 2(-60a) $$
     $$ 1 = 20a - 120a $$
     $$ 1 = -100a $$
     $$ a = -\frac{1}{100} $$

- Agora encontramos $ b $:
     $$ b = -60a = -60(-\frac{1}{100}) = \frac{60}{100} = \frac{3}{5} $$

- Portanto, a equação da parábola é:
     $$ y = -\frac{1}{100}x^2 + \frac{3}{5}x $$

5. **Calcular a altura máxima $ h $:**
   - A altura máxima ocorre no vértice, que tem coordenada x = 30.
   - Substituímos $ x = 30 $ na equação da parábola:
     $$ h = -\frac{1}{100}(30)^2 + \frac{3}{5}(30) $$
     $$ h = -\frac{1}{100}(900) + \frac{3}{5}(30) $$
     $$ h = -9 + 18 $$
     $$ h = 9 $$

Portanto, a altura máxima $ h $ que a bola atingiu é 9 metros.

**Resposta: 9 metros**

22. Após bater um tiro de meta, no ponto A, o goleiro do Est...

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