22. Em um losango, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão de A para B. Sabendo que A é a raiz não nula da equação 2^2x - 3·2^x + 2 = 0 e B = 5, quanto mede, em graus, o ângulo formado pela diagonal maior e um dos lados desse losango?

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos seguir os passos abaixo:

1. **Encontrar o valor de $ A $:**

A equação dada é $ 2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0 $.

Vamos fazer a substituição $ y = 2^x $. Assim, a equação se transforma em:
   
   $$
   y^2 - 3y + 2 = 0
   $$

Fatorando a equação quadrática, temos:

$$
   (y - 1)(y - 2) = 0
   $$

As raízes são $ y = 1 $ e $ y = 2 $.

Como $ y = 2^x $, temos $ 2^x = 1 $ ou $ 2^x = 2 $.

Para $ 2^x = 1 $, $ x = 0 $.
   
   Para $ 2^x = 2 $, $ x = 1 $.

Portanto, a raiz não nula é $ x = 1 $, e assim $ A = 2 $.

2. **Razão entre os ângulos:**

Os ângulos consecutivos do losango estão na razão $ A : B = 2 : 5 $.

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um losango é $ 360^\circ $, podemos escrever:

$$
   2x + 5x = 360^\circ
   $$

$$
   7x = 360^\circ \implies x = 51.43^\circ
   $$

Assim, os ângulos são $ 2x = 102.86^\circ $ e $ 5x = 257.14^\circ $.

3. **Ângulo formado pela diagonal maior e um lado do losango:**

No losango, as diagonais se cruzam formando ângulos retos. O ângulo entre a diagonal maior e um lado é metade do menor ângulo interno.

Portanto, o ângulo é:

$$
   \frac{102.86^\circ}{2} = 51.43^\circ
   $$

Assim, o ângulo formado pela diagonal maior e um dos lados do losango é $ 51.43^\circ $.

22. Em um losango, as medidas de dois ângulos internos conse...

Em um losango, as medidas de dois ângulos internos consecutivos estão na razão de A para B. Sabendo que A é a raiz não nula da equação 2^2x - 3·2^x + 2 = 0 e B = 5, quanto mede, em graus, o ângulo formado pela diagonal maior e um dos lados desse losango?

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