22. Um avião voa horizontalmente a 2000 m de altura com velocidade de 250 m/s no instante em que abandona um pacote. Adote g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Determine:
a) o tempo de queda do pacote;
b) a distância que o pacote percorre na direção horizontal desde o lançamento até o momento que atinge o solo;
c) o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.

Question

22. Um avião voa horizontalmente a 2000 m de altura com velocidade de 250 m/s no instante em que abandona um pacote. Adote g = 10 m/s2 e despreze a resistência do ar. Determine:
a) o tempo de queda do pacote;
b) a distância que o pacote percorre na direção horizontal desde o lançamento até o momento que atinge o solo;
c) o módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo.

Accepted Answer

Vamos resolver cada parte do problema passo a passo:

### Parte (a): Tempo de queda do pacote

Para determinar o tempo de queda, utilizamos a equação do movimento uniformemente acelerado na direção vertical:

$$ h = \frac{1}{2} g t^2 $$

onde:
- $ h $ é a altura (2000 m),
- $ g $ é a aceleração da gravidade (10 m/s²),
- $ t $ é o tempo de queda.

Isolando $ t $:

$$ 2000 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 $$

$$ 2000 = 5t^2 $$

$$ t^2 = \frac{2000}{5} $$

$$ t^2 = 400 $$

$$ t = \sqrt{400} $$

$$ t = 20 \, \text{s} $$

**Resposta: 20 s**

### Parte (b): Distância horizontal percorrida pelo pacote

A distância horizontal ($ d $) é dada pela velocidade horizontal ($ v $) multiplicada pelo tempo de queda ($ t $):

$$ d = v \cdot t $$

onde:
- $ v $ é a velocidade horizontal do avião (250 m/s),
- $ t $ é o tempo de queda (20 s).

$$ d = 250 \cdot 20 $$

$$ d = 5000 \, \text{m} $$

**Resposta: 5000 m**

### Parte (c): Módulo da velocidade do pacote ao atingir o solo

A velocidade final do pacote ao atingir o solo tem duas componentes: uma horizontal ($ v_x $) e uma vertical ($ v_y $).

A componente horizontal da velocidade ($ v_x $) permanece constante:

$$ v_x = 250 \, \text{m/s} $$

A componente vertical da velocidade ($ v_y $) pode ser encontrada usando a equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado:

$$ v_y = g \cdot t $$

onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade (10 m/s²),
- $ t $ é o tempo de queda (20 s).

$$ v_y = 10 \cdot 20 $$

$$ v_y = 200 \, \text{m/s} $$

O módulo da velocidade resultante ($ v $) é dado pelo teorema de Pitágoras:

$$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $$

Substituindo os valores:

$$ v = \sqrt{250^2 + 200^2} $$

$$ v = \sqrt{62500 + 40000} $$

$$ v = \sqrt{102500} $$

$$ v \approx 320.16 \, \text{m/s} $$

**Resposta: 320.16 m/s**