23. No triângulo a seguir, o ângulo BÂC mede 30° e o segmento de reta CD está contido na bissectriz de âˆ ABC.

Qual é a medida do ângulo âˆ AÂC indicado?

Question

23. No triângulo a seguir, o ângulo BÂC mede 30° e o segmento de reta CD está contido na bissectriz de âˆ ABC.

Qual é a medida do ângulo âˆ AÂC indicado?

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos determinar a medida do ângulo $ \angle ADC $.

Dado:
- O ângulo $ \angle BAC $ mede $ 30^\circ $.
- O segmento de reta $ CD $ está contido na bissetriz de $ \angle ACB $.

Como $ CD $ é a bissetriz de $ \angle ACB $, o ângulo $ \angle ACD $ é igual ao ângulo $ \angle DCB $. Vamos chamar esses ângulos de $ x $.

No triângulo $ \triangle ABC $, sabemos que a soma dos ângulos internos é $ 180^\circ $. Portanto, temos:

$$ \angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ $$

Substituindo os valores conhecidos:

$$ 30^\circ + 2x + \angle ABC = 180^\circ $$

Podemos isolar $ \angle ABC $:

$$ \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 2x $$
$$ \angle ABC = 150^\circ - 2x $$

No triângulo $ \triangle ADC $, a soma dos ângulos internos também é $ 180^\circ $. Portanto, temos:

$$ \angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ $$

Como $ \angle CAD = 30^\circ $ e $ \angle ACD = x $, temos:

$$ 30^\circ + x + \angle ADC = 180^\circ $$

Isolando $ \angle ADC $:

$$ \angle ADC = 180^\circ - 30^\circ - x $$
$$ \angle ADC = 150^\circ - x $$

Sabemos que $ x $ é metade do ângulo $ \angle ACB $. Como $ \angle ACB = 2x $, podemos substituir $ x $ pela metade de $ \angle ACB $:

$$ \angle ADC = 150^\circ - x $$
$$ \angle ADC = 150^\circ - \frac{\angle ACB}{2} $$

Como $ \angle ACB = 120^\circ $, temos:

$$ \angle ADC = 150^\circ - \frac{120^\circ}{2} $$
$$ \angle ADC = 150^\circ - 60^\circ $$
$$ \angle ADC = 90^\circ $$

Portanto, a medida do ângulo $ \angle ADC $ é $ 90^\circ $.

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