24.(PUCRS) - O conjunto soluçāo da equaçăo
$$
\sqrt[x]{e}=e^{x}, x \in \mathbf{R} \text {, e }
$$
a) $ \{-1,1\} $
b) $ \{-1,0\} $
c) $ (0,1) $
d) $ (-1) $
e) \{1)

Q: 24.(PUCRS) - O conjunto soluçāo da equaçăo \[ \sqrt[x]{e}=e^{x}, x \in \mathbf{R} \text {, e } \] a) $ \{-1,1\} $ b) $ \{-1,0\} $ c) $ (0,1) $ d) $ (-1) $ e) \{1)

Para resolver a equação $\sqrt[x]{e} = e^{x}$, vamos primeiro expressar ambos os lados da equação na mesma base, que é $e$. A expressão $\sqrt[x]{e}$ pode ser reescrita como $e^{\frac{1}{x}}$. Assim, a equação se torna: \[ e^{\frac{1}{x}} = e^{x} \] Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes: \[ \frac{1}{x} = x \] Multiplicando ambos os lados por $x$ para eliminar o denominador, obtemos: \[ 1 = x^2 \] Resolvendo a equação quadrática $x^2 - 1 = 0$, podemos fatorá-la como: \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0 \] Daí, temos duas soluções: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Portanto, o conjunto solução da equação é $\{-1, 1\}$. A opção correta é: a) $\{-1, 1\}$

Question

Accepted Answer

Para resolver a equação $\sqrt[x]{e} = e^{x}$, vamos primeiro expressar ambos os lados da equação na mesma base, que é $e$. A expressão $\sqrt[x]{e}$ pode ser reescrita como $e^{\frac{1}{x}}$. Assim, a equação se torna:

$$
e^{\frac{1}{x}} = e^{x}
$$

Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

$$
\frac{1}{x} = x
$$

Multiplicando ambos os lados por $x$ para eliminar o denominador, obtemos:

$$
1 = x^2
$$

Resolvendo a equação quadrática $x^2 - 1 = 0$, podemos fatorá-la como:

$$
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0
$$

Daí, temos duas soluções:

$$
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
$$
$$
x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
$$

Portanto, o conjunto solução da equação é $\{-1, 1\}$.

A opção correta é:

a) $\{-1, 1\}$

24.(PUCRS) - O conjunto soluçāo da equaçăo \[ \sqrt[x]{e}=e^{x}, x \in \mathbf{R} \text {, e } \] a) \( \{-1,1\} \) b) \( \{-1,0\} \) c) \( (0,1) \) d) \( (-1) \) e) \{1)