24. (Udesc-SC) Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 4 & 1 \end{bmatrix} e

B = \begin{bmatrix} 14 & 5 \ 17 & 7 \end{bmatrix} duas matrizes e I a matriz identidade de ordem dois. Encontre a matriz X tal que AX + I = B.

Q: 24. (Udesc-SC) Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} e B = \begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 17 & 7 \end{bmatrix} duas matrizes e I a matriz identidade de ordem dois. Encontre a matriz X tal que AX + I = B.

Para resolver a equação $AX + I = B$, onde $A$, $B$, e $I$ são matrizes dadas, precisamos encontrar a matriz $X$. Dado: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 17 & 7 \end{bmatrix}, \quad I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] A equação é: \[ AX + I = B \] Subtraindo $I$ de ambos os lados, temos: \[ AX = B - I \] Calculando $B - I$: \[ B - I = \begin{bmatrix} 14 & 5 \\ 17 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 5 \\ 17 & 6 \end{bmatrix} \] Agora, precisamos inverter a matriz $A$ para encontrar $X$: \[ X = A^{-1}(B - I) \] Primeiro, encontramos $A^{-1}$. Para isso, calculamos o determinante de $A$: \[ \text{det}(A) = (1)(1) - (2)(4) = 1 - 8 = -7 \] A inversa de $A$ é: \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{4}{7} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} \] Finalmente, calculamos $X$: \[ X = A^{-1}(B - I) = \begin{bmatrix} -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \\ \frac{4}{7} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 13 & 5 \\ 17 & 6 \end{bmatrix} \] Multiplicando as matrizes: \[ X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{7}(13) + \frac{2}{7}(17) & -\frac{1}{7}(5) + \frac{2}{7}(6) \\ \frac{4}{7}(13) - \frac{1}{7}(17) & \frac{4}{7}(5) - \frac{1}{7}(6) \end{bmatrix} \] \[ X = \begin{bmatrix} -\frac{13}{7} + \frac{34}{7} & -\frac{5}{7} + \frac{12}{7} \\ \frac{52}{7} - \frac{17}{7} & \frac{20}{7} - \frac{6}{7} \end{bmatrix} \] \[ X = \begin{bmatrix} \frac{21}{7} & \frac{7}{7} \\ \frac{35}{7} & \frac{14}{7} \end{bmatrix} \] \[ X = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \] Portanto, a matriz $X$ é: \[ X = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \]

Question

24. (Udesc-SC) Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 4 & 1 \end{bmatrix} e

B = \begin{bmatrix} 14 & 5 \ 17 & 7 \end{bmatrix} duas matrizes e I a matriz identidade de ordem dois. Encontre a matriz X tal que AX + I = B.

Accepted Answer

Para resolver a equação $AX + I = B$, onde $A$, $B$, e $I$ são matrizes dadas, precisamos encontrar a matriz $X$.

Dado:
$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 4 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 14 & 5 \ 17 & 7 \end{bmatrix}, \quad I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

A equação é:
$$ AX + I = B $$

Subtraindo $I$ de ambos os lados, temos:
$$ AX = B - I $$

Calculando $B - I$:
$$ B - I = \begin{bmatrix} 14 & 5 \ 17 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 5 \ 17 & 6 \end{bmatrix} $$

Agora, precisamos inverter a matriz $A$ para encontrar $X$:
$$ X = A^{-1}(B - I) $$

Primeiro, encontramos $A^{-1}$. Para isso, calculamos o determinante de $A$:
$$ \text{det}(A) = (1)(1) - (2)(4) = 1 - 8 = -7 $$

A inversa de $A$ é:
$$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{bmatrix} 1 & -2 \ -4 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-7} \begin{bmatrix} 1 & -2 \ -4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \ \frac{4}{7} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} $$

Finalmente, calculamos $X$:
$$ X = A^{-1}(B - I) = \begin{bmatrix} -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} \ \frac{4}{7} & -\frac{1}{7} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 13 & 5 \ 17 & 6 \end{bmatrix} $$

Multiplicando as matrizes:
$$ X = \begin{bmatrix} -\frac{1}{7}(13) + \frac{2}{7}(17) & -\frac{1}{7}(5) + \frac{2}{7}(6) \ \frac{4}{7}(13) - \frac{1}{7}(17) & \frac{4}{7}(5) - \frac{1}{7}(6) \end{bmatrix} $$

$$ X = \begin{bmatrix} -\frac{13}{7} + \frac{34}{7} & -\frac{5}{7} + \frac{12}{7} \ \frac{52}{7} - \frac{17}{7} & \frac{20}{7} - \frac{6}{7} \end{bmatrix} $$

$$ X = \begin{bmatrix} \frac{21}{7} & \frac{7}{7} \ \frac{35}{7} & \frac{14}{7} \end{bmatrix} $$

$$ X = \begin{bmatrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{bmatrix} $$

Portanto, a matriz $X$ é:
$$ X = \begin{bmatrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{bmatrix} $$

24. (Udesc-SC) Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end...

(Udesc-SC) Sejam A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 4 & 1 \end{bmatrix} e

B = \begin{bmatrix} 14 & 5 \ 17 & 7 \end{bmatrix} duas matrizes e I a matriz identidade de ordem dois. Encontre a matriz X tal que AX + I = B.

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