25. Se tan α = 1/3, com 0°

Question

25. Se tan α = 1/3, com 0° < α < 90°, então qual é o valor de sen α? 26. Sabendo que sen α = 4/5, com 0° < α < 90°, qual é o valor de cos α? 27. Qual é o valor de tan α se cos α = 1/4 e 0° < α < 90°?

D

Dilcilene

Feita pelo app

15/08/24

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver as questões:

**25.** Se $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, com $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, então qual é o valor de $\sen \alpha$?

Para resolver essa questão, podemos usar a relação fundamental da trigonometria:

$$
\tan \alpha = \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha}
$$

Dado que $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, temos:

$$
\frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{3}
$$

Podemos também usar a identidade pitagórica:

$$
\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$

Substituindo $\sen \alpha = x$ e $\cos \alpha = 3x$ (já que $\tan \alpha = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$):

$$
x^2 + (3x)^2 = 1
$$

$$
x^2 + 9x^2 = 1
$$

$$
10x^2 = 1
$$

$$
x^2 = \frac{1}{10}
$$

$$
x = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}
$$

Portanto, $\sen \alpha = \frac{\sqrt{10}}{10}$.

---

**26.** Sabendo que $\sen \alpha = \frac{4}{5}$, com $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, qual é o valor de $\cos \alpha$?

Usamos novamente a identidade pitagórica:

$$
\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$

Substituindo $\sen \alpha = \frac{4}{5}$:

$$
\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1
$$

$$
\frac{16}{25} + \cos^2 \alpha = 1
$$

$$
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25}
$$

$$
\cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}
$$

$$
\cos^2 \alpha = \frac{9}{25}
$$

$$
\cos \alpha = \frac{3}{5}
$$

---

**27.** Qual é o valor de $\tan \alpha$ se $\cos \alpha = \frac{1}{4}$ e $0^\circ < \alpha < 90^\circ$?

Usamos a identidade pitagórica novamente:

$$
\sen^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
$$

Substituindo $\cos \alpha = \frac{1}{4}$:

$$
\sen^2 \alpha + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1
$$

$$
\sen^2 \alpha + \frac{1}{16} = 1
$$

$$
\sen^2 \alpha = 1 - \frac{1}{16}
$$

$$
\sen^2 \alpha = \frac{16}{16} - \frac{1}{16}
$$

$$
\sen^2 \alpha = \frac{15}{16}
$$

$$
\sen \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}
$$

Agora calculamos $\tan \alpha$:

$$
\tan \alpha = \frac{\sen \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}} = \sqrt{15}
$$

Portanto, $\tan \alpha = \sqrt{15}$.