25. (UFMG) Um certo reservatório, contendo \( 72 \mathrm{~m}^{\prime} \) de água, deve ser drenado para limpeza. Decorridas thoras após o inicio da drenagem, o volume de água que saiu do reservatório, em \( \mathrm{m}^{\prime} \), é dado por \( V(t)=24 t-2 t^{2} \). Sabendo-se que a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório estará completamente vazio às: a) 14 horas. b) 16 horas. c) 19 horas. d) 22 horas. 26. Considere a funçăo definida por \( f(x)=-x^{2}+4 x-2 \). a) Determine os zeros de \( f \), se houver. b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfico. Resposta: undefined

Vamos resolver as duas questões uma de cada vez.

Questão 25

Dada a função $V(t) = 24t - 2t^2$, que representa o volume de água drenado após $t$ horas, queremos saber quando o reservatório estará completamente vazio. O volume inicial do reservatório é $72 \, \mathrm{m}^3$.

Para encontrar o tempo $t$ em que o reservatório estará vazio, igualamos $V(t)$ ao volume total:

$$72 = 24t - 2t^2$$

Rearranjando a equação, temos:

$$2t^2 - 24t + 72 = 0$$

Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

$$t^2 - 12t + 36 = 0$$

Essa é uma equação quadrática que pode ser resolvida usando a fórmula de Bhaskara:

$$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Aqui, $a = 1$, $b = -12$ e $c = 36$. Substituindo esses valores na fórmula:

$$t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2}$$ $$t = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{2}$$ $$t = \frac{12}{2}$$ $$t = 6$$

Portanto, o reservatório estará completamente vazio 6 horas após o início da drenagem. Como a drenagem começou às 10 horas, o reservatório estará vazio às 16 horas.

\textbf{Resposta: b}

Questão 26

Parte a)

Para determinar os zeros da função $f(x) = -x^2 + 4x - 2$, igualamos a função a zero:

$$-x^2 + 4x - 2 = 0$$

Usamos novamente a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Aqui, $a = -1$, $b = 4$, e $c = -2$. Substituindo esses valores na fórmula:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2)}}{2 \cdot (-1)}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 8}}{-2}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{-2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{-2}$$ $$x = 2 \mp \sqrt{2}$$

Portanto, os zeros de $f$ são:

$$x_1 = 2 + \sqrt{2}$$ $$x_2 = 2 - \sqrt{2}$$

Parte b)

Para calcular as coordenadas do vértice da parábola, usamos a fórmula do vértice $(x_v, y_v)$, onde:

$$x_v = \frac{-b}{2a}$$

Substituindo $a = -1$ e $b = 4$:

$$x_v = \frac{-4}{2 \cdot (-1)}$$ $$x_v = \frac{-4}{-2}$$ $$x_v = 2$$

Agora, substituímos $x_v = 2$ na função para encontrar $y_v$:

$$y_v = f(2) = - (2)^2 + 4 \cdot 2 - 2$$ $$y_v = -4 + 8 - 2$$ $$y_v = 2$$

Portanto, as coordenadas do vértice são $(2, 2)$.