25. Uma dona de casa registrou, na tabela seguinte, as quant...

Uma dona de casa registrou, na tabela seguinte, as quantidades (em gramas) de frutas compradas em duas semanas consecutivas, em um mesmo supermercado:

Quantidade (g) Fruta Banana Maçã Laranja Mamão 1ª semana 2 700 2 430 3 450 4 155 2ª semana 1 640 2 430 3 390 3 700

Os preços do quilograma (kg) da banana, maçã, laranja e mamão, em vigor nesse período, eram respectivamente R $2,35, R$ 3,40, R $1,70 e R$ 2,60. Determine, a partir do cálculo de um produto de matrizes, a quantia, em reais, gasta pela dona de casa, em cada semana.

Na matriz A, a seguir, estão representadas as quantidades de cálcio e magnésio, em miligramas, encontradas em 100 g de algumas verduras:

Couves-manteiga Couve-flor Espinafre Acelga Alface americana A = [177 16 98 43 14] [26 5 82 0 6]

Em um restaurante foram elaboradas três receitas (I, II, III) nas quais foram usadas porções de 100 g desses alimentos. Na matriz B a seguir estão representadas as quantidades de porções:

Receita I Receita II Receita III B = [1 0 2] [1 1 1] [2 3 3]

a) Determine a matriz C = A · B. b) Explique o significado do valor encontrado para o elemento c12 da matriz C. c) Explique o significado do valor encontrado para o elemento c23 da matriz C.

Construa a matriz A = (aij)3x3 para a qual aij = { i + j, se i < j; 1, se i = j; 0, se i > j } e calcule seu determinante.

Dê o valor exato do determinante da matriz B abaixo: (2,0 B = (bij)3x3 tal que bij = {3 + j, se i = j; 2i, se i ≠ j}

Sendo A = [1 0] [0 1], e B = [0 1] [1 0], determine AB, BA, A², B².

Respostas

Question

25. Uma dona de casa registrou, na tabela seguinte, as quantidades (em gramas) de frutas compradas em duas semanas consecutivas, em um mesmo supermercado:

Quantidade (g)
Fruta        Banana   Maçã    Laranja  Mamão
1ª semana   2 700    2 430   3 450    4 155
2ª semana   1 640    2 430   3 390    3 700

Os preços do quilograma (kg) da banana, maçã, laranja e mamão, em vigor nesse período, eram respectivamente R$ 2,35, R$ 3,40, R$ 1,70 e R$ 2,60. Determine, a partir do cálculo de um produto de matrizes, a quantia, em reais, gasta pela dona de casa, em cada semana.

26. Na matriz A, a seguir, estão representadas as quantidades de cálcio e magnésio, em miligramas, encontradas em 100 g de algumas verduras:

Couves-manteiga  Couve-flor  Espinafre  Acelga  Alface americana
A = [177 16 98 43 14]
    [26  5  82  0  6]

Em um restaurante foram elaboradas três receitas (I, II, III) nas quais foram usadas porções de 100 g desses alimentos. Na matriz B a seguir estão representadas as quantidades de porções:

Receita I   Receita II   Receita III
B = [1 0 2]
    [1 1 1]
    [2 3 3]

a) Determine a matriz C = A · B.
b) Explique o significado do valor encontrado para o elemento c12 da matriz C.
c) Explique o significado do valor encontrado para o elemento c23 da matriz C.

27. Construa a matriz A = (aij)3x3 para a qual aij = { i + j, se i < j; 1, se i = j; 0, se i > j } e calcule seu determinante.

28. Dê o valor exato do determinante da matriz B abaixo: (2,0
B = (bij)3x3 tal que bij = {3 + j, se i = j; 2i, se i ≠ j}

29. Sendo A = [1 0]
                 [0 1], e B = [0 1]
                             [1 0], determine AB, BA, A², B².

Accepted Answer

Vamos resolver as questões apresentadas:

### Questão 25

Para calcular o gasto em cada semana, precisamos multiplicar as quantidades de frutas compradas pelo preço por quilograma de cada fruta.

Preços por kg:
- Banana: R$ 2,35
- Maçã: R$ 3,40
- Laranja: R$ 1,70
- Mamão: R$ 2,60

#### Primeira Semana
- Banana: $ \frac{2700}{1000} \times 2,35 = 6,345 $
- Maçã: $ \frac{2430}{1000} \times 3,40 = 8,262 $
- Laranja: $ \frac{3450}{1000} \times 1,70 = 5,865 $
- Mamão: $ \frac{4155}{1000} \times 2,60 = 10,803 $

Total: R$ 31,275

#### Segunda Semana
- Banana: $ \frac{1640}{1000} \times 2,35 = 3,854 $
- Maçã: $ \frac{3120}{1000} \times 3,40 = 10,608 $
- Laranja: $ \frac{3390}{1000} \times 1,70 = 5,763 $
- Mamão: $ \frac{3700}{1000} \times 2,60 = 9,620 $

Total: R$ 29,845

### Questão 26

Para encontrar a matriz $ C = A \cdot B $, multiplicamos as matrizes $ A $ e $ B $.

**Matriz $ A $:**
$$
A = \begin{bmatrix}
177 & 16 & 98 & 43 & 14 \
26 & 5 & 82 & 13 & 6
\end{bmatrix}
$$

**Matriz $ B $:**
$$
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2 \
1 & 2 & 1 \
0 & 1 & 1 \
1 & 1 & 0 \
2 & 3 & 3
\end{bmatrix}
$$

Multiplicando $ A $ por $ B $:

$$
C = \begin{bmatrix}
(177 \cdot 1 + 16 \cdot 1 + 98 \cdot 0 + 43 \cdot 1 + 14 \cdot 2) & (177 \cdot 0 + 16 \cdot 2 + 98 \cdot 1 + 43 \cdot 1 + 14 \cdot 3) & (177 \cdot 2 + 16 \cdot 1 + 98 \cdot 1 + 43 \cdot 0 + 14 \cdot 3) \
(26 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 82 \cdot 0 + 13 \cdot 1 + 6 \cdot 2) & (26 \cdot 0 + 5 \cdot 2 + 82 \cdot 1 + 13 \cdot 1 + 6 \cdot 3) & (26 \cdot 2 + 5 \cdot 1 + 82 \cdot 1 + 13 \cdot 0 + 6 \cdot 3)
\end{bmatrix}
$$

Calculando os elementos:

$$
C = \begin{bmatrix}
264 & 203 & 455 \
62 & 128 & 152
\end{bmatrix}
$$

b) O elemento $ c_{12} = 203 $ representa a quantidade total de cálcio na Receita II.

c) O elemento $ c_{23} = 152 $ representa a quantidade total de magnésio na Receita III.

### Questão 27

Para a matriz $ A = (a_{ij})_{3x3} $, onde:
$$ 
a_{ij} = 
\begin{cases} 
i + j, & \text{se } i < j \
1, & \text{se } i = j \
0, & \text{se } i > j 
\end{cases}
$$

A matriz $ A $ será:
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & 4 \
0 & 1 & 5 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

Determinante de $ A $: $ \det(A) = 1 $.

### Questão 28

Para a matriz $ B $, calculamos o determinante. Como $ B $ é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

$$
\det(B) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8
$$

### Questão 29

Para as matrizes $ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $ e $ B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} $:

- $ AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} $
- $ BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} $
- $ A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $
- $ B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $

25. Uma dona de casa registrou, na tabela seguinte, as quant...

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