26. Determine a razão da PG $ (-3,3,-3,3, \ldots) $ :
27. Qual é a razão da PG $ (-8,-4,-2, \ldots) $ ?
28. Quantos termos tem a PG $ (2,4,8, \ldots, 1024) $ ?
29. Escreva uma PG de 10 termos, considerando $ a_{1}=3 $ e $ q=1,5: $
30. Calcule o número de potências de base 3 existentes entre 1 e 1000 :
31. Calcule o número de potências de base 5 existentes entre 1 e 1000 :
32. Calcule o número de potências de base 7 existentes entre 1 e 1000 :
33. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG ( -2 , $ 4,-8, \ldots): $
34. Calcule a soma dos 5 primeiros termos da $ \operatorname{PG}(-2,4 $, $ -8, \ldots): $
35. Determine $ 09^{\circ} $ termo da PG $ (2,4, \ldots): \quad+ $

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada uma das questões de forma detalhada:

**26. Determine a razão da PG $ (-3,3,-3,3, \ldots) $:**

Para determinar a razão $ q $ de uma Progressão Geométrica (PG), utilizamos a relação entre dois termos consecutivos. A razão é dada por:

$$ q = \frac{a_{n+1}}{a_n} $$

Neste caso, temos:

$$ q = \frac{3}{-3} = -1 $$

\textbf{Resposta:} A razão da PG é $ q = -1 $.

**27. Qual é a razão da PG $ (-8,-4,-2, \ldots) $?**

Utilizando a mesma fórmula:

$$ q = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2} $$

\textbf{Resposta:} A razão da PG é $ q = \frac{1}{2} $.

**28. Quantos termos tem a PG $ (2,4,8, \ldots, 1024) $?**

A fórmula do enésimo termo de uma PG é:

$$ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} $$

Aqui, $ a_1 = 2 $, $ q = 2 $ e $ a_n = 1024 $. Vamos encontrar $ n $:

$$ 1024 = 2 \cdot 2^{(n-1)} $$
$$ 1024 = 2^1 \cdot 2^{(n-1)} $$
$$ 1024 = 2^n $$

Sabemos que $ 1024 = 2^{10} $, então:

$$ n = 10 $$

\textbf{Resposta:} A PG tem 10 termos.

**29. Escreva uma PG de 10 termos, considerando $ a_{1}=3 $ e $ q=1,5 $:**

Os termos da PG são dados por:

$$ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} $$

Para $ n = 1, 2, \ldots, 10 $:

$$
\begin{align*}
a_1 & = 3 \
a_2 & = 3 \cdot 1.5 = 4.5 \
a_3 & = 3 \cdot 1.5^2 = 6.75 \
a_4 & = 3 \cdot 1.5^3 = 10.125 \
a_5 & = 3 \cdot 1.5^4 = 15.1875 \
a_6 & = 3 \cdot 1.5^5 = 22.78125 \
a_7 & = 3 \cdot 1.5^6 = 34.171875 \
a_8 & = 3 \cdot 1.5^7 = 51.2578125 \
a_9 & = 3 \cdot 1.5^8 = 76.88671875 \
a_{10} & = 3 \cdot 1.5^9 = 115.330078125 \
\end{align*}
$$

\textbf{Resposta:} A PG é $ (3, 4.5, 6.75, 10.125, 15.1875, 22.78125, 34.171875, 51.2578125, 76.88671875, 115.330078125) $.

**30. Calcule o número de potências de base 3 existentes entre 1 e 1000:**

As potências de base 3 são $ 3^0, 3^1, 3^2, \ldots $. Precisamos encontrar o maior $ n $ tal que $ 3^n \leq 1000 $:

$$
3^n \leq 1000
$$

Tomando logaritmo dos dois lados:

$$
n \log 3 \leq \log 1000
$$
$$
n \leq \frac{\log 1000}{\log 3}
$$

Sabemos que $ \log 1000 = 3 \log 10 = 3 $ e $ \log 3 \approx 0.477 $:

$$
n \leq \frac{3}{0.477} \approx 6.28
$$

Portanto, $ n \leq 6 $, e as potências são $ 3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, 3^5, 3^6 $.

\textbf{Resposta:} Existem 7 potências de base 3 entre 1 e 1000.

**31. Calcule o número de potências de base 5 existentes entre 1 e 1000:**

As potências de base 5 são $ 5^0, 5^1, 5^2, \ldots $. Precisamos encontrar o maior $ n $ tal que $ 5^n \leq 1000 $:

$$
5^n \leq 1000
$$

Tomando logaritmo dos dois lados:

$$
n \log 5 \leq \log 1000
$$
$$
n \leq \frac{\log 1000}{\log 5}
$$

Sabemos que $ \log 1000 = 3 \log 10 = 3 $ e $ \log 5 \approx 0.699 $:

$$
n \leq \frac{3}{0.699} \approx 4.29
$$

Portanto, $ n \leq 4 $, e as potências são $ 5^0, 5^1, 5^2, 5^3, 5^4 $.

\textbf{Resposta:} Existem 5 potências de base 5 entre 1 e 1000.

**32. Calcule o número de potências de base 7 existentes entre 1 e 1000:**

As potências de base 7 são $ 7^0, 7^1, 7^2, \ldots $. Precisamos encontrar o maior $ n $ tal que $ 7^n \leq 1000 $:

$$
7^n \leq 1000
$$

Tomando logaritmo dos dois lados:

$$
n \log 7 \leq \log 1000
$$
$$
n \leq \frac{\log 1000}{\log 7}
$$

Sabemos que $ \log 1000 = 3 \log 10 = 3 $ e $ \log 7 \approx 0.845 $:

$$
n \leq \frac{3}{0.845} \approx 3.55
$$

Portanto, $ n \leq 3 $, e as potências são $ 7^0, 7^1, 7^2, 7^3 $.

\textbf{Resposta:} Existem 4 potências de base 7 entre 1 e 1000.

**33. Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG $ (-2, 4, -8, \ldots) $:**

A fórmula da soma dos $ n $ primeiros termos de uma PG é:

$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$

Aqui, $ a_1 = -2 $, $ q = -2 $ e $ n = 10 $:

$$
S_{10} = -2 \cdot \frac{(-2)^{10} - 1}{-2 - 1}
$$

Calculando:

$$
(-2)^{10} = 1024
$$

$$
S_{10} = -2 \cdot \frac{1024 - 1}{-3} = -2 \cdot \frac{1023}{-3} = -2 \cdot -341 = 682
$$

\textbf{Resposta:} A soma dos 10 primeiros termos é $ S_{10} = 682 $.

**34. Calcule a soma dos 5 primeiros termos da PG $ (-2, 4, -8, \ldots) $:**

Usamos a mesma fórmula:

$$
S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}
$$

Aqui, $ a_1 = -2 $, $ q = -2 $ e $ n = 5 $:

$$
S_5 = -2 \cdot \frac{(-2)^5 - 1}{-2 - 1}
$$

Calculando:

$$
(-2)^5 = -32
$$

$$
S_5 = -2 \cdot \frac{-32 - 1}{-3} = -2 \cdot \frac{-33}{-3} = -2 \cdot 11 = -22
$$

\textbf{Resposta:} A soma dos 5 primeiros termos é $ S_5 = -22 $.

**35. Determine o 9º termo da PG $ (2, 4, \ldots) $:**

A fórmula do enésimo termo de uma PG é:

$$
a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}
$$

Aqui, $ a_1 = 2 $, $ q = 2 $ e $ n = 9 $:

$$
a_9 = 2 \cdot 2^{(9-1)} = 2 \cdot 2^8 = 2 \cdot 256 = 512
$$

\textbf{Resposta:} O 9º termo da PG é $ a_9 = 512 $.

26. Determine a razão da PG

Ask a question and receive an answer instantly