27 Calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo nos casos:

a)

b)

28 Num triângulo ABC inscrito numa circunferência, sabe-se que Â = 30°, B̂ = 45° e AC = 12 cm.

Determine:
a) a medida de BC;
b) o raio da circunferência.

Question

27 Calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo nos casos:

a)

b)

28 Num triângulo ABC inscrito numa circunferência, sabe-se que Â = 30°, B̂ = 45° e AC = 12 cm.

Determine:
a) a medida de BC;
b) o raio da circunferência.

Accepted Answer

Para resolver as questões apresentadas, vamos utilizar algumas propriedades dos triângulos inscritos em circunferências.

### Questão 27

#### a)

Para um triângulo inscrito em uma circunferência, o raio $ R $ da circunferência é dado pela fórmula:

$$
R = \frac{a}{2 \sin A}
$$

onde $ a $ é o lado oposto ao ângulo $ A $.

No triângulo dado:

- $ A = 30^\circ $
- $ a = 4 $

Substituindo na fórmula:

$$
R = \frac{4}{2 \cdot \sin 30^\circ} = \frac{4}{2 \cdot 0.5} = \frac{4}{1} = 4
$$

Portanto, o raio $ R $ é 4.

#### b)

Neste caso, temos:

- Ângulo $ A = 60^\circ $
- Lado $ a = 14 $

Utilizando a mesma fórmula:

$$
R = \frac{14}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \frac{14}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}
$$

Racionalizando o denominador:

$$
R = \frac{14 \cdot \sqrt{3}}{3}
$$

Portanto, o raio $ R $ é $ \frac{14\sqrt{3}}{3} $.

### Questão 28

Para resolver esta questão, utilizaremos a Lei dos Senos:

$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$

Sabemos que:

- Ângulo $ A = 30^\circ $
- Ângulo $ B = 45^\circ $
- Lado $ AC = 12 $

#### a) Medida de $ BC $

Usaremos a Lei dos Senos para encontrar $ BC $:

$$
\frac{BC}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin 45^\circ}
$$

$$
\frac{BC}{0.5} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$

$$
BC = 12 \cdot \frac{0.5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}
$$

#### b) Raio da Circunferência

Utilizando a Lei dos Senos novamente:

$$
2R = \frac{12}{\sin 45^\circ} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}
$$

Portanto, $ R = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} $.

Assim, o raio da circunferência é $ 6\sqrt{2} $.

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