27. (MACKENZIE) Numa sequência aritmética de 17 termos, sabe-se que a5 = 3 e a13 = 7. Então, a soma de todos os termos é

a) 102.

b) 85.

c) 68.

d) 78.

e) 90.

Question

27. (MACKENZIE) Numa sequência aritmética de 17 termos, sabe-se que a5 = 3 e a13 = 7. Então, a soma de todos os termos é

a) 102.

b) 85.

c) 68.

d) 78.

e) 90.

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos determinar a soma de todos os termos da progressão aritmética (PA) com 17 termos, dado que $a_5 = 3$ e $a_{13} = 7$.

1. **Encontrar a razão da PA**:

A fórmula do termo geral de uma PA é:
$$ a_n = a_1 + (n-1) \cdot r $$

Sabemos que:
$$ a_5 = a_1 + 4r = 3 $$
$$ a_{13} = a_1 + 12r = 7 $$

Subtraindo as duas equações:
$$ (a_1 + 12r) - (a_1 + 4r) = 7 - 3 $$
$$ 8r = 4 $$
$$ r = \frac{1}{2} $$

2. **Encontrar o primeiro termo ($a_1$)**:

Substituindo $r = \frac{1}{2}$ na primeira equação:
$$ a_1 + 4 \cdot \frac{1}{2} = 3 $$
$$ a_1 + 2 = 3 $$
$$ a_1 = 1 $$

3. **Calcular a soma dos 17 termos da PA**:

A soma dos $n$ termos de uma PA é dada por:
$$ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) $$

Para $n = 17$:
$$ a_{17} = a_1 + 16r = 1 + 16 \cdot \frac{1}{2} = 1 + 8 = 9 $$

Então:
$$ S_{17} = \frac{17}{2} \cdot (1 + 9) = \frac{17}{2} \cdot 10 = 85 $$

**Resposta: b) 85**

27. (MACKENZIE) Numa sequência aritmética de 17 termos, sabe...

(MACKENZIE) Numa sequência aritmética de 17 termos, sabe-se que a5 = 3 e a13 = 7. Então, a soma de todos os termos é

a) 102.

b) 85.

c) 68.

d) 78.

e) 90.

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