28.54 - A corrente que passa nos enrolamentos de um solenoide toroidal é de 2,400 A. Existem 500 espiras e seu raio médio é igual a $ 25,00 \mathrm{~cm} $. O toroide está preenchido com um material magnético. Verifica-se que o campo magnético no interior das espiras é igual a 1,940 T. Calcule: (a) a permeabilidade relativa; (b) a suscetibilidade magnética do material que preenche o toroide.

Question

Accepted Answer

Para resolver esses problemas, precisamos utilizar algumas fórmulas do eletromagnetismo que relacionam o campo magnético, a corrente, o número de espiras e as propriedades do material magnético.

### Parte (a): Permeabilidade Relativa

Primeiro, vamos calcular a permeabilidade relativa ($ \mu_r $) do material que preenche o toroide. A fórmula para o campo magnético no interior de um solenoide toroidal é:

$$
B = \mu_0 \mu_r \frac{N I}{2 \pi r}
$$

onde:
- $ B $ é o campo magnético,
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ($ 4 \pi \times 10^{-7} \, \mathrm{T \cdot m / A} $),
- $ \mu_r $ é a permeabilidade relativa do material,
- $ N $ é o número de espiras,
- $ I $ é a corrente,
- $ r $ é o raio médio do toroide.

Rearranjando a fórmula para resolver para $ \mu_r $:

$$
\mu_r = \frac{B \cdot 2 \pi r}{\mu_0 N I}
$$

Vamos inserir os valores fornecidos:

- $ B = 1,940 \, \mathrm{T} $
- $ r = 25,00 \, \mathrm{cm} = 0,2500 \, \mathrm{m} $
- $ N = 500 $
- $ I = 2,400 \, \mathrm{A} $
- $ \mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, \mathrm{T \cdot m / A} $

Substituindo esses valores na fórmula:

$$
\mu_r = \frac{1,940 \times 2 \pi \times 0,2500}{4 \pi \times 10^{-7} \times 500 \times 2,400}
$$

Simplificando:

$$
\mu_r = \frac{1,940 \times 0,5000}{2 \times 10^{-7} \times 500 \times 2,400}
$$

$$
\mu_r = \frac{0,970}{2,4 \times 10^{-4}}
$$

$$
\mu_r = \frac{0,970}{0,00024}
$$

$$
\mu_r \approx 4041,67
$$

### Parte (b): Suscetibilidade Magnética

A suscetibilidade magnética ($ \chi_m $) está relacionada com a permeabilidade relativa pela fórmula:

$$
\mu_r = 1 + \chi_m
$$

Portanto, para encontrar $ \chi_m $:

$$
\chi_m = \mu_r - 1
$$

Substituindo o valor encontrado para $ \mu_r $:

$$
\chi_m = 4041,67 - 1
$$

$$
\chi_m \approx 4040,67
$$

### Resumo das Respostas

(a) A permeabilidade relativa do material é aproximadamente $ 4041,67 $.

(b) A suscetibilidade magnética do material é aproximadamente $ 4040,67 $.

28.54 - A corrente que passa nos enrolamentos de um solenoid...

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