28. Por meio da decomposição em fatores primos, determine em seu caderno a raiz cúbica dos nûmeros a seguir.
a) 4096
f) 8000
b) 39304
g) 59519
c) 15625
h) 46656
d) 4913
i) 125000
e) 64000

Question

Accepted Answer

Para encontrar a raiz cúbica de um número por meio da decomposição em fatores primos, primeiro decomponha o número dado em seus fatores primos. Em seguida, agrupe os fatores primos em trios e multiplique um fator de cada trio para obter a raiz cúbica. Vamos fazer isso para cada número:

### a) 4096

Decompondo 4096 em fatores primos:
$$4096 = 2^{12}$$

Agrupando em trios:
$$(2^4)^3 = 16^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 4096 é 16.

### f) 8000

Decompondo 8000 em fatores primos:
$$8000 = 2^6 \times 5^3$$

Agrupando em trios:
$$(2^2 \times 5)^3 = 10^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 8000 é 10.

### b) 39304

Decompondo 39304 em fatores primos:
$$39304 = 2^3 \times 7^1 \times 281$$

Note que 281 é um número primo e não podemos formar um trio completo aqui, indicando que a decomposição ou o número está errado para a finalidade de extrair uma raiz cúbica exata. Vamos corrigir isso, considerando que talvez tenha havido um erro na decomposição inicial, pois 39304 é de fato $2^4 \times 7^4$, o que simplifica para:

$$39304 = (2^4 \times 7^4) = (2 \times 7)^4 = 14^4$$

Isso não se encaixa na solicitação de uma raiz cúbica, então parece haver um erro na minha análise. A forma correta de ver isso é:

$$39304 = 2^8 \times 7^4$$

Agrupando em trios:
$$(2^2 \times 7)^3 = 28^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 39304 é 28.

### g) 59519

Decompondo 59519 em fatores primos:
$$59519 = 3^3 \times 7^3$$

Agrupando em trios:
$$(3 \times 7)^3 = 21^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 59519 é 21.

### c) 15625

Decompondo 15625 em fatores primos:
$$15625 = 5^6$$

Agrupando em trios:
$$(5^2)^3 = 25^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 15625 é 25.

### h) 46656

Decompondo 46656 em fatores primos:
$$46656 = 2^6 \times 3^6$$

Agrupando em trios:
$$(2^2 \times 3^2)^3 = 36^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 46656 é 36.

### d) 4913

Decompondo 4913 em fatores primos:
$$4913 = 17^3$$

Já está na forma de um cubo perfeito, então:
$$17^3$$

A raiz cúbica de 4913 é 17.

### i) 125000

Decompondo 125000 em fatores primos:
$$125000 = 2^3 \times 5^6$$

Agrupando em trios:
$$(2 \times 5^2)^3 = 50^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 125000 é 50.

### e) 64000

Decompondo 64000 em fatores primos:
$$64000 = 2^8 \times 5^3$$

Agrupando em trios:
$$(2^2 \times 5)^3 = 20^3$$

Portanto, a raiz cúbica de 64000 é 20.

Essas são as raízes cúbicas dos números dados, encontradas pela decomposição em fatores primos.

28. Por meio da decomposição em fatores primos, determine em...

Por meio da decomposição em fatores primos, determine em seu caderno a raiz cúbica dos nûmeros a seguir. a) 4096 f) 8000 b) 39304 g) 59519 c) 15625 h) 46656 d) 4913 i) 125000 e) 64000

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