28. (UFPR) Calcule o valor de a de modo que exista somente uma matriz $ \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} $, tal que o produto
$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \ 4-a & a \ a & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}
$$
seja igual a $
\begin{bmatrix} 2 \ 3 \ -1 \end{bmatrix} $.

Q: 28. (UFPR) Calcule o valor de a de modo que exista somente uma matriz $ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $, tal que o produto \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4-a & a \\ a & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \] seja igual a $ \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} $.

Para encontrar o valor de $ a $ de modo que exista somente uma matriz $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ tal que: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4-a & a \\ a & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix} \] Precisamos que o sistema de equações formado tenha uma única solução. Isso ocorre quando a matriz dos coeficientes tem posto máximo, ou seja, o determinante da matriz deve ser diferente de zero. A matriz dos coeficientes é: \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4-a & a \\ a & -4 \end{bmatrix} \] Vamos calcular o determinante dessa matriz $ 3 \times 2 $ (considerando apenas as primeiras duas linhas para simplificar): \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4-a & a \end{vmatrix} = 1 \cdot a - 1 \cdot (4-a) = a - (4-a) = 2a - 4 \] Para que haja uma única solução, o determinante deve ser diferente de zero: \[ 2a - 4 \neq 0 \] Resolvendo a equação: \[ 2a \neq 4 \\ a \neq 2 \] Portanto, o valor de $ a $ deve ser diferente de 2 para que exista somente uma matriz $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$.

Question

Accepted Answer

Para encontrar o valor de $ a $ de modo que exista somente uma matriz $\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$ tal que:

$$
\begin{bmatrix} 
1 & 1 \ 
4-a & a \ 
a & -4 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 
x \ 
y 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 
2 \ 
3 \ 
-1 
\end{bmatrix}
$$

Precisamos que o sistema de equações formado tenha uma única solução. Isso ocorre quando a matriz dos coeficientes tem posto máximo, ou seja, o determinante da matriz deve ser diferente de zero.

A matriz dos coeficientes é:

$$
\begin{bmatrix} 
1 & 1 \ 
4-a & a \ 
a & -4 
\end{bmatrix}
$$

Vamos calcular o determinante dessa matriz $ 3 \times 2 $ (considerando apenas as primeiras duas linhas para simplificar):

$$
\begin{vmatrix} 
1 & 1 \ 
4-a & a
\end{vmatrix}
= 1 \cdot a - 1 \cdot (4-a) = a - (4-a) = 2a - 4
$$

Para que haja uma única solução, o determinante deve ser diferente de zero:

$$
2a - 4 \neq 0
$$

Resolvendo a equação:

$$
2a \neq 4 \
a \neq 2
$$

Portanto, o valor de $ a $ deve ser diferente de 2 para que exista somente uma matriz $\begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix}$.

28. (UFPR) Calcule o valor de a de modo que exista somente u...

(UFPR) Calcule o valor de a de modo que exista somente uma matriz $\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ , tal que o produto

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4-a & a \\ a & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$
seja igual a $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{bmatrix}$ .

Ask a question and receive an answer instantly