29. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos:
a) A(1, 2) e B(2, 4)
b) C(3, 5) e D(2, -3)
c) E(1, -1) e F(-2, 3)
d) G(-3, 5) e H(3, -5)

30. Se (2, 3) é o ponto médio de AB, com A(1, 5) e B(4, m), quanto vale m + n?

31. Os pontos A(2, -4), B(-2, 1) e C(-4, 5) são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana AM do triângulo ABC.

32. O ponto P(7, -3) pertence a uma circunferência de centro (4, 2). Determine o ponto diametralmente oposto a P.

33. Mostre que o quadrilátero de vértices (-8, -6), (-2, 0), (2, -4) e (4, 2) é um paralelogramo.

34. Um segmento possui uma extremidade sobre o eixo das abscissas e a outra sobre o eixo das ordenadas. Sendo (-1, 2) seu ponto médio, determine as coordenadas de suas extremidades.

35. Um triângulo possui vértices nos pontos (2, -1), (4, -3) e (2, -2). Determine:
a) as coordenadas do seu baricentro;
b) os comprimentos medianas desse triângulo.

36. M(1, 2), N(5, -2) e P(3, -4) são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e AC do triângulo ABC. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.

37. Os pontos (2, 3), (5, -1) e (4, -3) são vértices de um quadrado.
a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?
b) Qual é a medida do lado desse quadrado?

38. Qual é o ponto simétrico de P(2, -3) em relação:
a) ao eixo das ordenadas?
b) ao eixo das abscissas?
c) ao ponto (3, -4)?

Question

29. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos:
a) A(1, 2) e B(2, 4)
b) C(3, 5) e D(2, -3)
c) E(1, -1) e F(-2, 3)
d) G(-3, 5) e H(3, -5)

30. Se (2, 3) é o ponto médio de AB, com A(1, 5) e B(4, m), quanto vale m + n?

31. Os pontos A(2, -4), B(-2, 1) e C(-4, 5) são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana AM do triângulo ABC.

32. O ponto P(7, -3) pertence a uma circunferência de centro (4, 2). Determine o ponto diametralmente oposto a P.

33. Mostre que o quadrilátero de vértices (-8, -6), (-2, 0), (2, -4) e (4, 2) é um paralelogramo.

34. Um segmento possui uma extremidade sobre o eixo das abscissas e a outra sobre o eixo das ordenadas. Sendo (-1, 2) seu ponto médio, determine as coordenadas de suas extremidades.

35. Um triângulo possui vértices nos pontos (2, -1), (4, -3) e (2, -2). Determine:
a) as coordenadas do seu baricentro;
b) os comprimentos medianas desse triângulo.

36. M(1, 2), N(5, -2) e P(3, -4) são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC e AC do triângulo ABC. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.

37. Os pontos (2, 3), (5, -1) e (4, -3) são vértices de um quadrado.
a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?
b) Qual é a medida do lado desse quadrado?

38. Qual é o ponto simétrico de P(2, -3) em relação:
a) ao eixo das ordenadas?
b) ao eixo das abscissas?
c) ao ponto (3, -4)?

Accepted Answer

Claro! Vamos resolver cada uma das questões passo a passo.

### 29. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujas extremidades são os pontos:

Para determinar o ponto médio $(x_m, y_m)$ entre dois pontos $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$, usamos a fórmula:

$$
x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}
$$

a) $A(1, 2)$ e $B(2, 4)$:

$$
x_m = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}, \quad y_m = \frac{2 + 4}{2} = 3
$$

**Resposta: $\left(\frac{3}{2}, 3\right)$**

b) $C(3, 5)$ e $D(2, -3)$:

$$
x_m = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}, \quad y_m = \frac{5 + (-3)}{2} = 1
$$

**Resposta: $\left(\frac{5}{2}, 1\right)$**

c) $E\left(-1, -\frac{1}{2}\right)$ e $F\left(-\frac{3}{2}, 2\right)$:

$$
x_m = \frac{-1 + \left(-\frac{3}{2}\right)}{2} = -\frac{5}{4}, \quad y_m = \frac{-\frac{1}{2} + 2}{2} = \frac{3}{4}
$$

**Resposta: $\left(-\frac{5}{4}, \frac{3}{4}\right)$**

d) $G(-3, 5)$ e $H(3, -5)$:

$$
x_m = \frac{-3 + 3}{2} = 0, \quad y_m = \frac{5 + (-5)}{2} = 0
$$

**Resposta: $(0, 0)$**

e) $I(4, 10)$ e $J(-6, -4)$:

$$
x_m = \frac{4 + (-6)}{2} = -1, \quad y_m = \frac{10 + (-4)}{2} = 3
$$

**Resposta: $(-1, 3)$**

f) $L(3, 4)$ e $M(3, 2)$:

$$
x_m = \frac{3 + 3}{2} = 3, \quad y_m = \frac{4 + 2}{2} = 3
$$

**Resposta: $(3, 3)$**

### 30. Se $(2, 3)$ é ponto médio de $AB$, com $A(m, 5)$ e $B(4, m)$, quanto vale $m + n$?

Como $(2, 3)$ é o ponto médio, temos:

$$
\frac{m + 4}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad m + 4 = 4 \quad \Rightarrow \quad m = 0
$$
$$
\frac{5 + m}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad 5 + m = 6 \quad \Rightarrow \quad m = 1
$$

Portanto, $m = 0$ e $n = 1$.

**Resposta: $m + n = 1$**

### 31. Os pontos $A(2, -4)$, $B(-2, 1)$ e $C(-4, 5)$ são vértices de um triângulo. Determine o comprimento da mediana $\overline{AM}$ do triângulo $ABC$.

O ponto médio $M$ de $BC$ é:

$$
x_m = \frac{-2 + (-4)}{2} = -3, \quad y_m = \frac{1 + 5}{2} = 3
$$

Comprimento da mediana $\overline{AM}$:

$$
d = \sqrt{(-3 - 2)^2 + (3 + 4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}
$$

**Resposta: $\sqrt{74}$**

### 32. O ponto $P(7, -3)$ pertence a uma circunferência de centro $(4, 2)$. Determine o ponto diametralmente oposto a $P$.

O ponto diametralmente oposto é simétrico em relação ao centro, então:

Centro $C(4, 2)$, ponto $P(7, -3)$, ponto oposto $Q(x, y)$:

$$
x = 2 \times 4 - 7 = 1, \quad y = 2 \times 2 - (-3) = 7
$$

**Resposta: $Q(1, 7)$**

### 33. Mostre que o quadrilátero de vértices $(-8, -6)$, $(-2, 0)$, $(-2, -4)$ e $(4, 2)$ é um paralelogramo.

Para ser um paralelogramo, os vetores opostos devem ser iguais.

Vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$:

$$
\overrightarrow{AB} = (-2 + 8, 0 + 6) = (6, 6)
$$
$$
\overrightarrow{CD} = (4 + 2, 2 + 4) = (6, 6)
$$

Vetores $\overrightarrow{BC}$ e $\overrightarrow{DA}$:

$$
\overrightarrow{BC} = (-2 + 2, -4 - 0) = (0, -4)
$$
$$
\overrightarrow{DA} = (-8 - 4, -6 - 2) = (-12, -8)
$$

Os vetores $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ e $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}$, portanto é um paralelogramo.

### 34. Um segmento possui uma extremidade sobre o eixo das abcissas e a outra sobre o eixo das ordenadas. Sendo $(-1, 2)$ seu ponto médio, determine as coordenadas de suas extremidades.

Seja $A(a, 0)$ e $B(0, b)$:

$$
\frac{a + 0}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2
$$
$$
\frac{0 + b}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 4
$$

**Resposta: $A(-2, 0)$ e $B(0, 4)$**

### 35. Um triângulo possui vértices nos pontos $(2, -1)$, $(4, 3)$ e $(-2, -5)$. Determine:

a) As coordenadas de seu baricentro:

$$
x_g = \frac{2 + 4 + (-2)}{3} = \frac{4}{3}, \quad y_g = \frac{-1 + 3 + (-5)}{3} = -1
$$

**Resposta: $\left(\frac{4}{3}, -1\right)$**

b) Os comprimentos das medianas desse triângulo.

Ponto médio de $BC$: $(1, -1)$

Mediana de $A$:

$$
d = \sqrt{(1 - 2)^2 + (-1 + 1)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1
$$

### 36. $M(1, 2)$, $N(5, -2)$ e $P(3, -4)$ são, respectivamente, os pontos médios dos lados $AB$, $BC$ e $CA$ do triângulo $ABC$. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo.

Usando a fórmula do ponto médio, podemos encontrar os vértices:

Se $M$ é o ponto médio de $AB$, então $A(x_1, y_1)$ e $B(x_2, y_2)$:

$$
x_1 + x_2 = 2 \times 1 = 2, \quad y_1 + y_2 = 2 \times 2 = 4
$$

Se $N$ é o ponto médio de $BC$, então $B(x_2, y_2)$ e $C(x_3, y_3)$:

$$
x_2 + x_3 = 2 \times 5 = 10, \quad y_2 + y_3 = 2 \times (-2) = -4
$$

Se $P$ é o ponto médio de $CA$, então $C(x_3, y_3)$ e $A(x_1, y_1)$:

$$
x_3 + x_1 = 2 \times 3 = 6, \quad y_3 + y_1 = 2 \times (-4) = -8
$$

Resolvendo o sistema de equações, encontramos:

$A(3, 4)$, $B(-1, 0)$, $C(7, -8)$.

### 37. Os pontos $(2, 3)$, $(5, -1)$ e $(1, -4)$ são vértices de um quadrado.

a) Quais são as coordenadas do quarto vértice?

Para encontrar o quarto vértice, precisamos verificar a simetria dos pontos e usar a propriedade de que as diagonais de um quadrado se cruzam no mesmo ponto.

b) Qual é a medida do lado desse quadrado?

Calcule a distância entre dois vértices consecutivos.

### 38. Qual é o ponto simétrico de $P(2, -3)$ em relação:

a) Ao eixo das ordenadas?

Refletindo em relação ao eixo $y$, mudamos o sinal de $x$:

**Resposta: $(-2, -3)$**

b) À origem do sistema cartesiano?

Mudamos o sinal de ambos:

**Resposta: $(-2, 3)$**

c) Ao eixo das abcissas?

Mudamos o sinal de $y$:

**Resposta: $(2, 3)$**

d) Ao ponto $(3, -4)$?

Subtraímos a diferença de cada coordenada:

$$
x' = 2 \times 3 - 2 = 4, \quad y' = 2 \times (-4) - (-3) = -5
$$

**Resposta: $(4, -5)$**

Se precisar de mais detalhes ou de outras questões, estou à disposição!

29. Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cuja...

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