3) Escreva em forma de radical as seguintes potências, explore as propriedades e a fatoração sempre que necessário:
a) $ 2^{\frac{5}{6}}= $
b) $ \left(3^{\frac{2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}}= $
c) $ 36^{-\frac{1}{2}}= $
d) $ x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{2}{3}}= $
e) $ x^{\frac{2}{3}} \div x^{\frac{1}{4}}= $

Question

Accepted Answer

Vamos escrever as potências fornecidas em forma de radical.

a) $ 2^{\frac{5}{6}} $

Para converter uma potência fracionária em forma de radical, usamos a seguinte propriedade:

$$ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $$

Portanto,

$$ 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{2^5} $$

b) $ \left(3^{\frac{2}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} $

Primeiro, simplificamos a expressão dentro do parênteses:

$$ 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}} $$

Agora aplicamos a propriedade de potência de uma potência:

$$ \left(3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{6}} $$

Convertendo para forma de radical:

$$ 3^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{3} $$

c) $ 36^{-\frac{1}{2}} $

Usamos a propriedade da potência negativa:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Portanto,

$$ 36^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{36^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{36}} = \frac{1}{6} $$

d) $ x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{2}{3}} $

Usamos a propriedade de multiplicação de potências com a mesma base:

$$ x^a \cdot x^b = x^{a+b} $$

Portanto,

$$ x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3}} $$

Para somar as frações, encontramos um denominador comum:

$$ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} \quad \text{e} \quad \frac{2}{3} = \frac{4}{6} $$

Portanto,

$$ x^{\frac{3}{6} + \frac{4}{6}} = x^{\frac{7}{6}} $$

Convertendo para forma de radical:

$$ x^{\frac{7}{6}} = \sqrt[6]{x^7} $$

e) $ x^{\frac{2}{3}} \div x^{\frac{1}{4}} $

Usamos a propriedade de divisão de potências com a mesma base:

$$ x^a \div x^b = x^{a-b} $$

Portanto,

$$ x^{\frac{2}{3}} \div x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{2}{3} - \frac{1}{4}} $$

Para subtrair as frações, encontramos um denominador comum:

$$ \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \quad \text{e} \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12} $$

Portanto,

$$ x^{\frac{8}{12} - \frac{3}{12}} = x^{\frac{5}{12}} $$

Convertendo para forma de radical:

$$ x^{\frac{5}{12}} = \sqrt[12]{x^5} $$