3. As idades de Ana, Bia, Cássia e Dalva formam nessa ordem uma progressão aritmética de
soma 140, e a sequência das idades de Ana, Bia e Dalva forma, nessa ordem, uma progressão
geométrica de razão 2. Então, podemos concluir que a idade de Dalva é
a) 58 anos
b) 56 anos
c) 48 anos
d) 42 anos
e) 28 anos

Question

3. As idades de Ana, Bia, Cássia e Dalva formam nessa ordem uma progressão aritmética de 
soma 140, e a sequência das idades de Ana, Bia e Dalva forma, nessa ordem, uma progressão
geométrica de razão 2. Então, podemos concluir que a idade de Dalva é 
a) 58 anos 
b) 56 anos 
c) 48 anos
d) 42 anos 
e) 28 anos

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos utilizar as informações fornecidas para estabelecer equações baseadas nas propriedades de progressões aritméticas (PA) e geométricas (PG).

Vamos considerar as idades de Ana, Bia, Cássia e Dalva como $A$, $B$, $C$, e $D$, respectivamente.

Dadas as condições:

1. $A$, $B$, $C$, e $D$ formam uma PA, e a soma dessas idades é 140. Então, $A + B + C + D = 140$.
2. As idades de Ana, Bia, e Dalva (ignorando Cássia) formam uma PG com razão 2. Isso significa que $B = A \cdot 2$ e $D = B \cdot 2 = 2^2 \cdot A = 4A$.

Com essas informações, podemos substituir $B$ e $D$ em termos de $A$ na equação da soma das idades:

$$A + 2A + C + 4A = 140$$
$$7A + C = 140$$

Agora precisamos encontrar uma maneira de expressar $C$ em termos das outras idades ou encontrar outro relacionamento que nos permita resolver o sistema de equações.

Contudo, perceba que não precisamos realmente calcular $C$ para determinar a idade de Dalva. Já temos $D = 4A$, então precisamos apenas encontrar $A$.

Como as idades formam uma PA, a diferença entre cada uma é constante. Portanto, a diferença entre $A$ e $B$ é a mesma que entre $B$ e $C$, e entre $C$ e $D$. Sabendo que $B = 2A$ e $D = 4A$, a diferença comum da PA é $B - A = 2A - A = A$.

No entanto, sem um valor explícito para $C$ ou uma segunda equação que relacione $C$ de forma mais direta às outras idades, podemos ter interpretado a sequência de forma muito simplificada. A chave aqui é reconhecer que a informação sobre a PG nos dá uma relação direta entre as idades de Ana, Bia, e Dalva, e a informação sobre a PA nos dá a soma total das idades.

Dado o erro de interpretação anterior sobre a necessidade de encontrar $C$ explicitamente, vamos corrigir o foco para resolver $A$ diretamente a partir das informações dadas, usando a relação de PG e a soma total das idades.

Considerando a correção e focando nas relações dadas:

1. Para a PG, temos $B = 2A$ e $D = 4A$, como já estabelecido.
2. A soma das idades é $A + B + C + D = 140$, e com $B = 2A$ e $D = 4A$, isso nos dá $A + 2A + C + 4A = 140$, ou seja, $7A + C = 140$.

Para avançar corretamente, percebemos que a relação direta entre $A$, $B$, e $D$ é chave, mas a solução requer reconhecer que calculamos a soma das idades sem ajustar adequadamente por $C$.

O caminho correto envolve usar as relações de PA e PG para encontrar as idades específicas, mas cometi um erro ao tentar simplificar demais a solução sem calcular $C$.

Vamos retomar com a correção adequada:

Se $A$, $B$, $C$, e $D$ estão em PA, então a diferença comum $r$ pode ser encontrada pela relação $B - A = C - B = D - C$. Contudo, meu passo inicial assumiu incorretamente que poderíamos prosseguir sem detalhar mais sobre $C$, o que levou à confusão.

Para resolver corretamente, devemos reconhecer que a informação crucial foi mal interpretada: a relação de PG entre $A$, $B$, e $D$ e a soma das idades sendo 140 são pontos de partida, mas a explicação falhou ao integrar esses pontos corretamente para derivar a idade de Dalva sem ambiguidade.

A abordagem correta envolveria reavaliar as relações de PA e PG com foco em expressar todas as idades em termos de $A$ e usar a soma dada para encontrar $A$, seguido pelo cálculo de $D$. No entanto, a explicação anterior desviou-se ao tentar simplificar demais o problema, levando a uma conclusão prematura.

Para esclarecer e corrigir:

Sabendo que $D = 4A$ e que a soma das idades é 140, precisamos de mais informações ou uma abordagem diferente para encontrar $A$ diretamente, pois a relação inicialmente descrita não fornece uma solução clara sem considerar a posição exata de $C$ na PA e como ela afeta a soma total das idades.

A solução correta depende da identificação da diferença na PA e aplicação correta das fórmulas de PG para encontrar as idades exatas. Sem a relação exata ou adicional de $C$, minha tentativa de resolução direta foi imprecisa.

Para resolver essa questão corretamente, precisamos reconhecer que, sem a idade exata de $C$ ou uma formulação mais clara da diferença na PA, a solução proposta não aborda adequadamente a questão conforme apresentada.

3. As idades de Ana, Bia, Cássia e Dalva formam nessa ordem ...

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