3. Atualmente, no Teatro São Jorge, um grupo musical se apresenta diariamente. A presença do público se dá em função, principalmente, do preço do ingresso. A capacidade máxima do teatro é de 800 pessoas e quando o preço do ingresso é R$ 90,80, o comparecimento, em média é de 300 pessoas. Dados estatísticos indicam que a cada R$ 10,00 de redução no preço do ingresso verifica-se, em média, um aumento de 100 pessoas no público presente. Com estes dados, conclui-se que a receita máxima, em média, obtida em uma apresentação musical é de
A) R$ 32 000,00.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos maximizar a receita, que é dada pelo produto do preço do ingresso pelo número de pessoas presentes.

1. **Dados iniciais:**
   - Preço inicial do ingresso: $ P = 90,80 $
   - Público inicial: $ N = 300 $

2. **Relação entre preço e público:**
   - A cada redução de R$ 10,00 no preço, o público aumenta em 100 pessoas.
   - Capacidade máxima do teatro: 800 pessoas.

3. **Equação da receita:**
   - Receita $ R(x) = (90,80 - 10x) \times (300 + 100x) $
   - Onde $ x $ é o número de reduções de R$ 10,00 no preço.

4. **Encontrar o valor de $ x $ para a capacidade máxima:**
   - $ 300 + 100x = 800 $
   - $ 100x = 500 $
   - $ x = 5 $

5. **Calcular a receita máxima:**
   - Substituir $ x = 5 $ na equação da receita:
   $$
   R(5) = (90,80 - 10 \times 5) \times (300 + 100 \times 5)
   $$
   $$
   R(5) = (90,80 - 50) \times 800
   $$
   $$
   R(5) = 40,80 \times 800
   $$
   $$
   R(5) = 32.640,00
   $$

Portanto, a receita máxima é **R$ 32.640,00**.

3. Atualmente, no Teatro São Jorge, um grupo musical se apre...

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