3- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de área da base $ 288 \sqrt{3} m $ e apótema $ 13 \mathrm{~m} $.

Question

Accepted Answer

Para calcular o volume de uma pirâmide, utilizamos a fórmula:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot A_b \cdot h
$$

onde $ V $ é o volume, $ A_b $ é a área da base e $ h $ é a altura da pirâmide.

No caso de uma pirâmide hexagonal regular, a área da base $ A_b $ já foi fornecida como $ 288 \sqrt{3} \, \text{m}^2 $. Precisamos encontrar a altura $ h $.

A apótema da pirâmide (dada como $ 13 \, \text{m} $) é a altura da face triangular lateral da pirâmide. Para encontrar a altura $ h $ da pirâmide, podemos usar o teorema de Pitágoras em um triângulo retângulo que tem como hipotenusa a apótema $ a $, um dos catetos sendo a altura $ h $ e o outro cateto sendo o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.

Primeiro, encontramos o raio $ R $ da circunferência circunscrita ao hexágono regular. O lado do hexágono $ s $ pode ser encontrado pela relação entre a área da base e o perímetro do hexágono:

$$
A_b = \frac{3 \sqrt{3}}{2} s^2
$$

Substituindo $ A_b = 288 \sqrt{3} $:

$$
288 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} s^2
$$

Simplificando:

$$
288 \sqrt{3} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} s^2
$$

Multiplicando ambos os lados por $ \frac{2}{3 \sqrt{3}} $:

$$
s^2 = 192 \implies s = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \, \text{m}
$$

O raio da circunferência circunscrita ao hexágono regular é:

$$
R = \frac{s \sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 12 \, \text{m}
$$

Agora, aplicamos o teorema de Pitágoras para encontrar a altura $ h $:

$$
a^2 = h^2 + R^2
$$

Substituindo $ a = 13 \, \text{m} $ e $ R = 12 \, \text{m} $:

$$
13^2 = h^2 + 12^2
$$

$$
169 = h^2 + 144
$$

$$
h^2 = 25
$$

$$
h = 5 \, \text{m}
$$

Finalmente, substituímos $ A_b $ e $ h $ na fórmula do volume:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot 288 \sqrt{3} \cdot 5
$$

$$
V = \frac{1}{3} \cdot 1440 \sqrt{3}
$$

$$
V = 480 \sqrt{3} \, \text{m}^3
$$

Portanto, o volume da pirâmide é:

$$
\boxed{480 \sqrt{3} \, \text{m}^3}
$$

3- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de áre...

3- Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de área da base $288 \sqrt{3} m$ e apótema $13 \mathrm{~m}$ .

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