(3) Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.

(a) a(x, y) = 4x^6y^2 + 5xy - 6x + √7

(b) b(x, y) = (x^2 + 4x - 5) / (x^2y^2 - x^2y - y^2 + y)

(c) c(x, y) = (y - 2) / (y^2 - 4y + 4)

(d) d(x, y) = e^(y^2) + ln(y - x^2)

(e) e(x, y) = arctan(√(xy))

(f) f(x, y) = √(x^2 - y^2)

Question

(3) Em quais pontos do plano cartesiano as funções abaixo são contínuas? Justifique e esboce a região de continuidade.

(a) a(x, y) = 4x^6y^2 + 5xy - 6x + √7

(b) b(x, y) = (x^2 + 4x - 5) / (x^2y^2 - x^2y - y^2 + y)

(c) c(x, y) = (y - 2) / (y^2 - 4y + 4)

(d) d(x, y) = e^(y^2) + ln(y - x^2)

(e) e(x, y) = arctan(√(xy))

(f) f(x, y) = √(x^2 - y^2)

Accepted Answer

Para determinar os pontos em que as funções são contínuas, devemos analisar onde cada função é definida e contínua.

**b) $ b(x, y) = \frac{x^2 + 4x - 5}{x^2y^2 - x^2y - y^2 + y} $**

A função racional $ b(x, y) $ é contínua onde o denominador não é zero. Precisamos resolver:

$$ x^2y^2 - x^2y - y^2 + y = 0 $$

Os pontos de continuidade serão todos aqueles que não satisfazem essa equação. Portanto, a região de continuidade é o plano cartesiano excluindo as soluções da equação acima.

**d) $ d(x, y) = e^{3yz^2} + \ln(y - x^2) $**

- $ e^{3yz^2} $ é contínua para todo $ x $ e $ y $.
- $ \ln(y - x^2) $ é contínua quando $ y - x^2 > 0 $.

Portanto, a função $ d(x, y) $ é contínua para $ y > x^2 $.

**e) $ e(x, y) = \arctan(\sqrt{xy}) $**

- $ \arctan(u) $ é contínua para todo $ u $.
- $ \sqrt{xy} $ é definida para $ xy \geq 0 $.

Assim, $ e(x, y) $ é contínua para $ xy \geq 0 $.

### Resumo das Regiões de Continuidade
- **b)** Região onde $ x^2y^2 - x^2y - y^2 + y \neq 0 $.
- **d)** Região onde $ y > x^2 $.
- **e)** Região onde $ xy \geq 0 $.