3. (Espcex (Aman) 2019) Considere o conjunto de números naturais (1, 2,,15). Formando grupos de três números
distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é
a) 168. b) 196. c) 224. d) 227. e) 231.

Question

Accepted Answer

**Resposta: C**

Para que a soma de três números seja ímpar, temos duas possibilidades:

1.  Os três números são ímpares.
2.  Dois números são pares e um é ímpar.

No conjunto $\{1, 2, ..., 15\}$, temos 8 números ímpares (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) e 7 números pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14).

Caso 1: Três números ímpares
O número de maneiras de escolher 3 números ímpares dentre os 8 é dado pela combinação:
$$C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 	imes 7 	imes 6}{3 	imes 2 	imes 1} = 56$$

Caso 2: Dois números pares e um ímpar
O número de maneiras de escolher 2 números pares dentre os 7 é dado pela combinação:
$$C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 	imes 6}{2 	imes 1} = 21$$
O número de maneiras de escolher 1 número ímpar dentre os 8 é dado pela combinação:
$$C(8, 1) = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = 8$$
Portanto, o número de grupos com dois números pares e um ímpar é:
$$C(7, 2) 	imes C(8, 1) = 21 	imes 8 = 168$$

Somando os dois casos:
Total = 56 + 168 = 224

Portanto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é 224.

3. (Espcex (Aman) 2019) Considere o conjunto de números natu...

(Espcex (Aman) 2019) Considere o conjunto de números naturais (1, 2,,15). Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é a) 168. b) 196. c) 224. d) 227. e) 231.

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