3) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 5^x = 125
b) 6^x = 1/36
c) 4^x = 32
d) 81^x = 1/27
e) 2
. 9^x = 54
f) 2^{3x+2} = 16
g) (25/9)^{x-1} = (3/5)^{4x-3}
h) (1.2)^{x} = (6/5)^{2-x}
i) (√27)^{x} = 1/81

Question

3) Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 5^x = 125
b) 6^x = 1/36
c) 4^x = 32
d) 81^x = 1/27
e) 2 
. 9^x = 54
f) 2^{3x+2} = 16
g) (25/9)^{x-1} = (3/5)^{4x-3}
h) (1.2)^{x} = (6/5)^{2-x}
i) (√27)^{x} = 1/81

Accepted Answer

Vamos resolver as equações exponenciais:

a) $5^x = 125$

$$125 = 5^3 \Rightarrow 5^x = 5^3$$
Portanto, $x = 3$.

b) $6^x = \frac{1}{36}$

$$36 = 6^2 \Rightarrow \frac{1}{36} = 6^{-2}$$
Portanto, $x = -2$.

c) $4^x = 32$

$$32 = 2^5 \quad \text{e} \quad 4 = 2^2 \Rightarrow (2^2)^x = 2^5 \Rightarrow 2^{2x} = 2^5$$
Portanto, $2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$.

d) $81^x = \frac{1}{27}$

$$81 = 3^4 \quad \text{e} \quad 27 = 3^3 \Rightarrow (3^4)^x = \frac{1}{3^3} \Rightarrow 3^{4x} = 3^{-3}$$
Portanto, $4x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{4}$.

e) $2 \cdot 9^x = 54$

$$9 = 3^2 \Rightarrow 2 \cdot (3^2)^x = 54 \Rightarrow 2 \cdot 3^{2x} = 54$$
Dividindo ambos os lados por 2:
$$3^{2x} = 27 \Rightarrow 27 = 3^3 \Rightarrow 3^{2x} = 3^3$$
Portanto, $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.

f) $2^{3x+2} = 16$

$$16 = 2^4 \Rightarrow 2^{3x+2} = 2^4$$
Portanto, $3x + 2 = 4 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$.

g) $\left(\frac{25}{9}\right)^{x-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{4-3x}$

Podemos reescrever as frações como potências:
$$\left(\frac{5^2}{3^2}\right)^{x-1} = \left(\frac{3}{5}\right)^{4-3x}$$
$$\left(\frac{5}{3}\right)^{2(x-1)} = \left(\frac{3}{5}\right)^{4-3x}$$

Invertendo a base do lado direito:
$$\left(\frac{5}{3}\right)^{2(x-1)} = \left(\frac{5}{3}\right)^{-(4-3x)}$$

Igualando os expoentes:
$$2(x-1) = -(4-3x)$$
$$2x - 2 = -4 + 3x$$
$$2x - 3x = -4 + 2$$
$$-x = -2 \Rightarrow x = 2$$

h) $(1,2)^x = \left(\frac{6}{5}\right)^{2-x}$

Podemos reescrever como:
$$\left(\frac{6}{5}\right)^{\log_{1.2}(\frac{6}{5}) \cdot x} = \left(\frac{6}{5}\right)^{2-x}$$

Igualando os expoentes:
$$\log_{1.2}(\frac{6}{5}) \cdot x = 2 - x$$

Resolvendo para $x$:
$$x(\log_{1.2}(\frac{6}{5}) + 1) = 2$$
$$x = \frac{2}{\log_{1.2}(\frac{6}{5}) + 1}$$

i) $(\sqrt{27})^x = \frac{1}{81}$

$$\sqrt{27} = 27^{1/2} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$$
$$81 = 3^4 \Rightarrow \frac{1}{81} = 3^{-4}$$

Portanto:
$$(3^{3/2})^x = 3^{-4}$$
$$3^{(3/2)x} = 3^{-4}$$

Igualando os expoentes:
$$\frac{3}{2}x = -4$$
$$x = -\frac{8}{3}$$

3) Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 5^x = 125...

Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 5^x = 125 b) 6^x = 1/36 c) 4^x = 32 d) 81^x = 1/27 e) 2 . 9^x = 54 f) 2^{3x+2} = 16 g) (25/9)^{x-1} = (3/5)^{4x-3} h) (1.2)^{x} = (6/5)^{2-x} i) (√27)^{x} = 1/81

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3) Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 5^x = 125...

Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 5^x = 125 b) 6^x = 1/36 c) 4^x = 32 d) 81^x = 1/27 e) 2 . 9^x = 54 f) 2^{3x+2} = 16 g) (25/9)^{x-1} = (3/5)^{4x-3} h) (1.2)^{x} = (6/5)^{2-x} i) (√27)^{x} = 1/81

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Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) 5^x = 125 b) 6^x = 1/36 c) 4^x = 32 d) 81^x = 1/27 e) 2 . 9^x = 54 f) 2^{3x+2} = 16 g) (25/9)^{x-1} = (3/5)^{4x-3} h) (1.2)^{x} = (6/5)^{2-x} i) (√27)^{x} = 1/81