3. Se um ângulo do segundo quadrante tem cosseno igual a -\sqrt{5}/3, calcule os valores exatos de seu seno.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, sabemos que o cosseno de um ângulo no segundo quadrante é negativo. Assim, temos:

$$
\cos(\theta) = -\frac{\sqrt{5}}{3}
$$

Podemos usar a identidade fundamental da trigonometria:

$$
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1
$$

Substituindo o valor do cosseno:

$$
\sin^2(\theta) + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1
$$

$$
\sin^2(\theta) + \frac{5}{9} = 1
$$

$$
\sin^2(\theta) = 1 - \frac{5}{9}
$$

$$
\sin^2(\theta) = \frac{9}{9} - \frac{5}{9}
$$

$$
\sin^2(\theta) = \frac{4}{9}
$$

$$
\sin(\theta) = \pm \frac{2}{3}
$$

No segundo quadrante, o seno é positivo, então:

$$
\sin(\theta) = \frac{2}{3}
$$

Agora, para a tangente:

$$
\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}
$$

$$
\tan(\theta) = \frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}
$$

$$
\tan(\theta) = -\frac{2}{\sqrt{5}}
$$

Racionalizando o denominador:

$$
\tan(\theta) = -\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
$$

Portanto, os valores exatos são:

$$
\sin(\theta) = \frac{2}{3}, \quad \tan(\theta) = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
$$