3. Tomemos $ \theta $ como o ângulo que o vetor $ \vec{A} $ forma com o eixo $ +x $, medido no sentido anti-horário desse eixo. Determine o ângulo $ \theta $ para um vetor que possiu os seguintes componentes: a) $ A_{x}=2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=-1,0 \mathrm{~m} $; b) $ A_{x}=2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=1,0 \mathrm{~m} $; c) $ A_{x}= $ $ -2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=1,0 \mathrm{~m} ; $ d) $ A_{x}=-2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=-1,0 \mathrm{~m} $

Question

Accepted Answer

Para determinar o ângulo $ \theta $ que o vetor $ \vec{A} $ forma com o eixo $ +x $, podemos usar a fórmula:

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{A_{y}}{A_{x}}\right) $$

Essa fórmula nos dá o ângulo em radianos, que pode ser convertido para graus se necessário. É importante lembrar que a função $ \tan^{-1} $ (arco tangente) retorna valores em um intervalo de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ (ou de -90° a 90°), então precisamos ajustar o resultado baseado no quadrante em que o vetor se encontra.

Vamos calcular o ângulo $ \theta $ para cada caso:

a) $ A_{x}=2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=-1,0 \mathrm{~m} $

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-1,0}{2,0}\right) = \tan^{-1}\left(-0,5\right) $$

O vetor está no 4º quadrante, onde os valores de $ \theta $ são positivos e menores que 360° mas maiores que 270°.

$$ \theta \approx -26,57° $$

Como queremos um ângulo positivo medido no sentido anti-horário, convertemos:

$$ \theta = 360° - 26,57° = 333,43° $$

b) $ A_{x}=2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=1,0 \mathrm{~m} $

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1,0}{2,0}\right) = \tan^{-1}\left(0,5\right) $$

O vetor está no 1º quadrante, então:

$$ \theta \approx 26,57° $$

c) $ A_{x}= -2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=1,0 \mathrm{~m} $

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{1,0}{-2,0}\right) = \tan^{-1}\left(-0,5\right) $$

O vetor está no 2º quadrante, onde os valores de $ \theta $ são positivos e maiores que 90° mas menores que 180°.

$$ \theta \approx -26,57° $$

Para um ângulo positivo no sentido anti-horário a partir do eixo $ +x $:

$$ \theta = 180° - 26,57° = 153,43° $$

d) $ A_{x}=-2,0 \mathrm{~m}, A_{y}=-1,0 \mathrm{~m} $

$$ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-1,0}{-2,0}\right) = \tan^{-1}\left(0,5\right) $$

O vetor está no 3º quadrante, onde os valores de $ \theta $ são positivos e maiores que 180° mas menores que 270°.

$$ \theta \approx 26,57° $$

Para um ângulo positivo no sentido anti-horário a partir do eixo $ +x $:

$$ \theta = 180° + 26,57° = 206,57° $$

Assim, temos os ângulos $ \theta $ para cada uma das situações fornecidas.

3. Tomemos

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