3. (Udesc) Assinale a alternativa que corresponde ao valor da expressão
$$
\begin{array}{l}
6 \cos ^{2}\left(\frac{13 \pi}{6}\right)-4 \cos ^{2}\left(\frac{11 \pi}{4}\right)+ \
+\operatorname{sen}\left(-\frac{7 \pi}{6}\right)+\operatorname{tg}^{2}\left(\frac{31 \pi}{3}\right)
\end{array}
$$
a) 6
b) 5
c) $ \frac{9}{2} $
d) 3
e) $ \frac{23}{4} $

Question

Accepted Answer

Para resolver essa expressão, vamos analisar cada termo separadamente, simplificando-os usando as propriedades trigonométricas e as identidades conhecidas.

1) **Primeiro Termo: $6 \cos^2\left(\frac{13\pi}{6}\right)$**

O ângulo $\frac{13\pi}{6}$ é equivalente a $\frac{\pi}{6}$ quando consideramos seus valores dentro do ciclo trigonométrico de $2\pi$, pois $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$.

Portanto, temos:
$$6 \cos^2\left(\frac{13\pi}{6}\right) = 6 \cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = 6 \left(\sqrt{3}/2\right)^2 = 6 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{2}$$

2) **Segundo Termo: $-4 \cos^2\left(\frac{11\pi}{4}\right)$**

O ângulo $\frac{11\pi}{4}$ é equivalente a $\frac{3\pi}{4}$ ou $-\frac{\pi}{4}$ no ciclo de $2\pi$, pois $\frac{11\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{4}$.

Logo, temos:
$$-4 \cos^2\left(\frac{11\pi}{4}\right) = -4 \cos^2\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$$

3) **Terceiro Termo: $\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$**

O seno de um ângulo negativo é o oposto do seno desse ângulo, e $-\frac{7\pi}{6}$ é equivalente a $\frac{5\pi}{6}$ no ciclo de $2\pi$. Portanto, temos:
$$\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$

4) **Quarto Termo: $\tan^2\left(\frac{31\pi}{3}\right)$**

O ângulo $\frac{31\pi}{3}$ pode ser simplificado para $\frac{\pi}{3}$ no ciclo de $2\pi$, pois $\frac{31\pi}{3} = 10\pi + \frac{\pi}{3}$.

A tangente de $\frac{\pi}{3}$ é $\sqrt{3}$, então:
$$\tan^2\left(\frac{31\pi}{3}\right) = \tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = (\sqrt{3})^2 = 3$$

Agora, somando todos os termos:

$$\frac{9}{2} - 2 - \frac{1}{2} + 3 = \frac{9 - 4 - 1 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Portanto, a resposta correta é a alternativa **(b) 5**.

3. (Udesc) Assinale a alternativa que corresponde ao valor d...

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