3 - Um corpo de massa m=300 g, enfiado num aro circular de raio R=1 m situado num plano vertical está preso por uma mola de constante elástica k=200 N/m no ponto C, no topo do aro. Na posição relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com que velocidade ele chegará a B?

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Question

Question image: 3 - Um corpo de massa m=300 g, enfiado num aro circular de raio R=1 m situado num plano vertical está preso por uma mola de constante elástica k=200 N/m no ponto C, no topo do aro. Na posição relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com que velocidade ele chegará a B?

3 - Um corpo de massa m=300 g, enfiado num aro circular de raio R=1 m situado num plano vertical está preso por uma mola de constante elástica k=200 N/m no ponto C, no topo do aro. Na posição relaxada da mola, o corpo está em B, no ponto mais baixo do aro. Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na figura, com que velocidade ele chegará a B?

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Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos aplicar a conservação de energia mecânica. A energia mecânica total é a soma da energia potencial gravitacional, a energia potencial elástica e a energia cinética.

### Dados:
- Massa do corpo ($m$) = 300 g = 0,3 kg
- Raio do aro ($R$) = 1 m
- Constante elástica da mola ($k$) = 200 N/m

### Posições:
- **Ponto A**: O corpo está em repouso, a 60° acima do ponto mais baixo (B).
- **Ponto B**: O ponto mais baixo do aro.

### Energias no ponto A:
1. **Energia Potencial Gravitacional ($E_{pgA}$)**:
   $$
   E_{pgA} = m \cdot g \cdot h_A
   $$
   Onde $h_A = R \cdot (1 - \cos(60^\circ)) = R \cdot \frac{1}{2} = 0,5 \, \text{m}$.

2. **Energia Potencial Elástica ($E_{peA}$)**:
   A mola está comprimida de $R$ até o ponto C, então:
   $$
   E_{peA} = \frac{1}{2} k \cdot x^2
   $$
   Onde $x = R$ (pois a mola está relaxada no ponto B).

3. **Energia Cinética ($E_{cA}$)**:
   O corpo está em repouso em A, então:
   $$
   E_{cA} = 0
   $$

### Energias no ponto B:
1. **Energia Potencial Gravitacional ($E_{pgB}$)**:
   No ponto B, $h_B = 0$, logo:
   $$
   E_{pgB} = 0
   $$

2. **Energia Potencial Elástica ($E_{peB}$)**:
   A mola não está comprimida nem esticada no ponto B, logo:
   $$
   E_{peB} = 0
   $$

3. **Energia Cinética ($E_{cB}$)**:
   $$
   E_{cB} = \frac{1}{2} m \cdot v_B^2
   $$

### Conservação de Energia:
$$
E_{pgA} + E_{peA} = E_{pgB} + E_{peB} + E_{cB}
$$

Substituindo as expressões:

$$
m \cdot g \cdot 0,5 + \frac{1}{2} \cdot k \cdot R^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_B^2
$$

### Resolvendo para $v_B$:
$$
0,3 \cdot 9,8 \cdot 0,5 + \frac{1}{2} \cdot 200 \cdot 1^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot v_B^2
$$

$$
1,47 + 100 = 0,15 \cdot v_B^2
$$

$$
101,47 = 0,15 \cdot v_B^2
$$

$$
v_B^2 = \frac{101,47}{0,15}
$$

$$
v_B^2 \approx 676,47
$$

$$
v_B \approx \sqrt{676,47} \approx 26,01 \, \text{m/s}
$$

Portanto, a velocidade com que o corpo chega ao ponto B é aproximadamente $26,01 \, \text{m/s}$.

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