30. (PUC-SP) Sendo cos x = -\frac{1}{m} e sen x = \frac{\sqrt{m+1}}{m}, determine m.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:

$$
\cos^2(x) + \sen^2(x) = 1
$$

Dado que $\cos(x) = \frac{1}{m}$ e $\sen(x) = \frac{\sqrt{m+1}}{m}$, substituímos esses valores na identidade trigonométrica:

$$
\left(\frac{1}{m}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{m+1}}{m}\right)^2 = 1
$$

Simplificando as frações:

$$
\frac{1}{m^2} + \frac{m+1}{m^2} = 1
$$

Juntando os termos com denominadores comuns:

$$
\frac{1 + m + 1}{m^2} = 1
$$

$$
\frac{m + 2}{m^2} = 1
$$

Multiplicamos ambos os lados da equação por $m^2$:

$$
m + 2 = m^2
$$

Rearranjamos a equação para formar uma equação quadrática:

$$
m^2 - m - 2 = 0
$$

Agora resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

$$
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Onde $a = 1$, $b = -1$ e $c = -2$:

$$
m = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}
$$

$$
m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}
$$

$$
m = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}
$$

$$
m = \frac{1 \pm 3}{2}
$$

Isso nos dá duas soluções:

$$
m = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{ou} \quad m = \frac{1 - 3}{2} = -1
$$

Como $m$ deve ser positivo (pois $m$ aparece no denominador e não pode ser zero), temos:

$$
m = 2
$$

Portanto, o valor de $m$ é $2$.