31. Na figura, um triângulo equilátero está inscrito num círculo de raio 6 cm. Determine a área da região colorida.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular a área da região colorida.

1. **Área do círculo:**

O raio do círculo é 6 cm. A fórmula para a área do círculo é $A = \pi r^2$.

$$
A = \pi \times 6^2 = 36\pi \, \text{cm}^2
$$

2. **Área do triângulo equilátero:**

O triângulo está inscrito no círculo, então o raio do círculo é igual ao raio da circunferência circunscrita do triângulo. Para um triângulo equilátero, o raio da circunferência circunscrita é $\frac{l}{\sqrt{3}}$, onde $l$ é o lado do triângulo. Assim:

$$
6 = \frac{l}{\sqrt{3}} \implies l = 6\sqrt{3}
$$

A área de um triângulo equilátero é dada por:

$$
A = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}
$$

Substituindo $l = 6\sqrt{3}$:

$$
A = \frac{(6\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{108 \sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

3. **Área da região colorida:**

Subtraímos a área do triângulo da área do círculo:

$$
A_{\text{colorida}} = 36\pi - 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2
$$

Portanto, a área da região colorida é $36\pi - 27\sqrt{3} \, \text{cm}^2$.

31. Na figura, um triângulo equilátero está inscrito num cír...

Na figura, um triângulo equilátero está inscrito num círculo de raio 6 cm. Determine a área da região colorida.

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