31-(UFRJ) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna. Determine a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas. a) 1/3 b) 1/2 c) 1/6 d) 1/9 e) 1/18

Para resolver este problema, vamos calcular a probabilidade de retirar duas bolas de cores distintas, uma de cada urna. Vamos chamar as urnas de Urna 1 e Urna 2. Cada urna contém 100 bolas pretas e 100 bolas brancas.

Existem duas maneiras de retirar bolas de cores distintas:

1. Retirar uma bola preta da Urna 1 e uma bola branca da Urna 2.
2. Retirar uma bola branca da Urna 1 e uma bola preta da Urna 2.

Vamos calcular a probabilidade para cada caso e depois somá-las, pois são eventos mutuamente exclusivos.

Caso 1: Bola preta da Urna 1 e bola branca da Urna 2

A probabilidade de retirar uma bola preta da Urna 1 é $\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$, pois há 100 bolas pretas em um total de 200 bolas.

A probabilidade de retirar uma bola branca da Urna 2 é também $\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$, pelo mesmo motivo.

Portanto, a probabilidade de que este evento ocorra (bola preta da Urna 1 E bola branca da Urna 2) é dada pelo produto das probabilidades individuais, pois são eventos independentes:

$$P(\text{Preto 1 e Branco 2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Caso 2: Bola branca da Urna 1 e bola preta da Urna 2

A probabilidade de retirar uma bola branca da Urna 1 é $\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$.

A probabilidade de retirar uma bola preta da Urna 2 é também $\frac{100}{200} = \frac{1}{2}$.

Logo, a probabilidade de que este evento ocorra (bola branca da Urna 1 E bola preta da Urna 2) é também:

$$P(\text{Branco 1 e Preto 2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Para encontrar a probabilidade total de retirar duas bolas de cores distintas, somamos as probabilidades dos dois casos:

$$P(\text{Cores Distintas}) = P(\text{Preto 1 e Branco 2}) + P(\text{Branco 1 e Preto 2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$

Portanto, a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas é de $\frac{1}{2}$, ou seja, a opção correta é:

b) 1/2