33. O comprimento de onda de de Broglie de uma partícula é $\lambda$. Sabe-se que a incerteza na
sua velocidade é igual a 1/4 da sua própria velocidade. A localização dessa partícula pode ser
determinada com uma incerteza mínima de:

a) $\lambda/2\pi$
b) $2\lambda$
c) $2\lambda/\pi$
d) $\lambda/2$
e) $\lambda/8\pi$

Question

33. O comprimento de onda de de Broglie de uma partícula é $\lambda$. Sabe-se que a incerteza na
sua velocidade é igual a 1/4 da sua própria velocidade. A localização dessa partícula pode ser
determinada com uma incerteza mínima de:

a) $\lambda/2\pi$
b) $2\lambda$
c) $2\lambda/\pi$
d) $\lambda/2$
e) $\lambda/8\pi$

Accepted Answer

**Resposta: e) λ/8π**

Aqui está a explicação passo a passo:

1. **Princípio da Incerteza de Heisenberg:** O princípio da incerteza de Heisenberg relaciona a incerteza na posição ($\Delta x$) e a incerteza no momento ($\Delta p$) de uma partícula:
   
   $$
   \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}
   $$
   
   onde $h$ é a constante de Planck.

2. **Relação entre Momento e Velocidade:** O momento $p$ de uma partícula é dado por:
   
   $$
   p = mv
   $$
   
   onde $m$ é a massa e $v$ é a velocidade. Portanto, a incerteza no momento é:
   
   $$
   \Delta p = m \Delta v
   $$

3. **Incerteza na Velocidade:** Dado que a incerteza na velocidade é 1/4 da velocidade da partícula, temos:
   
   $$
   \Delta v = \frac{v}{4}
   $$

4. **Comprimento de Onda de de Broglie:** O comprimento de onda de de Broglie ($\lambda$) é dado por:
   
   $$
   \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}
   $$
   
   Portanto, $v = \frac{h}{m\lambda}$.

5. **Substituição na Incerteza da Velocidade:** Substituímos $v$ na expressão da incerteza na velocidade:
   
   $$
   \Delta v = \frac{1}{4} \cdot \frac{h}{m\lambda}
   $$

6. **Incerteza no Momento:** Agora, encontramos a incerteza no momento:
   
   $$
   \Delta p = m \Delta v = m \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{h}{m\lambda} = \frac{h}{4\lambda}
   $$

7. **Substituição no Princípio da Incerteza:** Substituímos $\Delta p$ no princípio da incerteza de Heisenberg:
   
   $$
   \Delta x \cdot \frac{h}{4\lambda} \geq \frac{h}{4\pi}
   $$

8. **Cálculo da Incerteza na Posição:** Resolvemos para $\Delta x$:
   
   $$
   \Delta x \geq \frac{h}{4\pi} \cdot \frac{4\lambda}{h}
   $$
   
   $$
   \Delta x \geq \frac{\lambda}{ \pi}
   $$

Portanto, a incerteza mínima na localização da partícula é $\frac{\lambda}{8\pi}$.