33.Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão. Primeiro, encontramos o número total de inteiros no intervalo dado, depois subtraímos aqueles divisíveis por 5 e por 7, e finalmente adicionamos de volta aqueles divisíveis por ambos (pois foram subtraídos duas vezes).

1. **Total de números inteiros de 1000 a 10000**:
   - O primeiro passo é calcular quantos números inteiros existem entre 1000 e 10000.
   - Existem 9001 números (de 1000 a 10000, inclusive ambos).

2. **Números divisíveis por 5**:
   - Para encontrar os números divisíveis por 5 nesse intervalo, procuramos pelo primeiro e último múltiplo de 5 dentro do intervalo.
   - O primeiro múltiplo de 5 após 1000 é 1000 (já que 1000 ÷ 5 = 200 sem resto).
   - O último múltiplo de 5 antes de 10000 é 10000 (já que 10000 ÷ 5 = 2000 sem resto).
   - Para encontrar quantos múltiplos de 5 existem, usamos a fórmula: $\frac{\text{último} - \text{primeiro}}{\text{intervalo}} + 1$.
   - Assim, temos $\frac{10000 - 1000}{5} + 1 = 1801$ números divisíveis por 5.

3. **Números divisíveis por 7**:
   - O primeiro múltiplo de 7 maior que 1000 é 1001 (já que 1001 ÷ 7 = 143 sem resto).
   - O último múltiplo de 7 menor que 10000 é 9996 (já que 9996 ÷ 7 = 1428 sem resto).
   - Usando a mesma fórmula: $\frac{9996 - 1001}{7} + 1$.
   - Calculamos $\frac{9996 - 1001}{7} + 1 = 1286$ números divisíveis por 7.

4. **Números divisíveis por 5 e 7 (ou seja, por 35)**:
   - O primeiro múltiplo de 35 maior que 1000 é 1015 (já que 1015 ÷ 35 = 29 sem resto).
   - O último múltiplo de 35 menor que 10000 é 9975 (já que 9975 ÷ 35 = 285 sem resto).
   - Calculamos $\frac{9975 - 1015}{35} + 1$.
   - Isso dá $\frac{9975 - 1015}{35} + 1 = 256$ números divisíveis tanto por 5 quanto por 7.

5. **Aplicando o princípio da inclusão-exclusão**:
   - Número total de inteiros = 9001
   - Subtraímos os divisíveis por 5 e por 7: $9001 - 1801 - 1286$
   - Adicionamos de volta os divisíveis por ambos (35): $+ 256$

Portanto, o cálculo final é: $9001 - 1801 - 1286 + 256 = 6170$.

Existem, então, 6170 números inteiros de 1000 a 10000 que não são divisíveis nem por 5 nem por 7.

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33.Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

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