34. (UNIVASF) pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo o dobro da altura e área lateral medindo 144√2 cm². O volume dessa pirâmide, em cm³, é:
a) 72√2 b) 288 c) 576√2 d) 864 e) 2304

Question

34. (UNIVASF) pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo o dobro da altura e área lateral medindo 144√2 cm². O volume dessa pirâmide, em cm³, é:
a) 72√2  b) 288  c) 576√2  d) 864  e) 2304

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar as informações fornecidas:

1. A base da pirâmide é quadrada, com lado $ a $.
2. A altura da pirâmide é $ h $.
3. O lado da base é o dobro da altura: $ a = 2h $.
4. A área lateral da pirâmide é $ 144\sqrt{2} \, \text{cm}^2 $.

A área lateral de uma pirâmide regular de base quadrada é dada por:

$$
A_{\text{lateral}} = 2a \cdot g
$$

onde $ g $ é a apótema (altura lateral) da pirâmide.

Sabemos que:

$$
2a \cdot g = 144\sqrt{2}
$$

Substituindo $ a = 2h $:

$$
2(2h) \cdot g = 144\sqrt{2}
$$

$$
4h \cdot g = 144\sqrt{2}
$$

$$
g = \frac{144\sqrt{2}}{4h} = \frac{36\sqrt{2}}{h}
$$

A relação entre a apótema, a altura e o lado da base em uma pirâmide é dada pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado pela altura, metade do lado da base e a apótema:

$$
g^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2
$$

Substituindo $ a = 2h $:

$$
g^2 = h^2 + \left(\frac{2h}{2}\right)^2 = h^2 + h^2 = 2h^2
$$

$$
g = h\sqrt{2}
$$

Igualando as duas expressões para $ g $:

$$
h\sqrt{2} = \frac{36\sqrt{2}}{h}
$$

Multiplicando ambos os lados por $ h $:

$$
h^2\sqrt{2} = 36\sqrt{2}
$$

Dividindo ambos os lados por $ \sqrt{2} $:

$$
h^2 = 36
$$

$$
h = 6
$$

Agora, encontrando $ a $:

$$
a = 2h = 12
$$

O volume $ V $ de uma pirâmide é dado por:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot \text{área da base} \cdot \text{altura}
$$

A área da base é $ a^2 = 12^2 = 144 $.

Portanto:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 6 = 288
$$

**Resposta: b) 288**

34. (UNIVASF) pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base medindo o dobro da altura e área lateral medindo 144√2 cm². O volume dessa pirâmide, em cm³, é: a) 72√2 b) 288 c) 576√2 d) 864 e) 2304

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