354. Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular de $ 64 \sqrt{2} \mathrm{~m}^{3} $ de volume forma com as arestas laterais, sabendo que as arestas do base do prisma medem $ 4 \mathrm{~m} $.

Question

Accepted Answer

Para calcular o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular forma com as arestas laterais, precisamos seguir alguns passos.

Primeiro, vamos determinar a altura do prisma. O volume $ V $ de um prisma quadrangular regular é dado por:

$$ V = A_{\text{base}} \times h $$

onde $ A_{\text{base}} $ é a área da base e $ h $ é a altura do prisma.

A base do prisma é um quadrado com lado de 4 m, então a área da base é:

$$ A_{\text{base}} = 4 \times 4 = 16 \, \mathrm{m}^2 $$

Dado que o volume do prisma é $ 64 \sqrt{2} \, \mathrm{m}^3 $, podemos encontrar a altura $ h $ resolvendo a equação:

$$ 64 \sqrt{2} = 16 \times h $$

Dividindo ambos os lados por 16, obtemos:

$$ h = \frac{64 \sqrt{2}}{16} = 4 \sqrt{2} \, \mathrm{m} $$

Agora, precisamos calcular a diagonal do prisma. A diagonal $ d $ de um prisma quadrangular regular pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras em três dimensões. A diagonal atravessa o espaço entre dois vértices opostos do prisma, passando pela diagonal da base quadrada e a altura do prisma.

A diagonal da base quadrada é:

$$ d_{\text{base}} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \, \mathrm{m} $$

Então, a diagonal do prisma $ d $ é:

$$ d = \sqrt{(4 \sqrt{2})^2 + (4 \sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8 \, \mathrm{m} $$

Para encontrar o ângulo $ \theta $ entre a diagonal do prisma e a aresta lateral, usamos a relação trigonométrica do cosseno. Considerando a altura como a aresta lateral e a diagonal do prisma como a hipotenusa em um triângulo retângulo, temos:

$$ \cos(\theta) = \frac{\text{altura}}{\text{diagonal do prisma}} = \frac{4 \sqrt{2}}{8} = \frac{4 \sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Portanto,

$$ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ $$

Então, o ângulo que a diagonal do prisma forma com as arestas laterais é $ 45^\circ $.

354. Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangul...

Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular de $64 \sqrt{2} \mathrm{~m}^{3}$ de volume forma com as arestas laterais, sabendo que as arestas do base do prisma medem $4 \mathrm{~m}$ .

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354. Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangul...

Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular de 642 m364 \sqrt{2} \mathrm{~m}^{3}642​ m3 de volume forma com as arestas laterais, sabendo que as arestas do base do prisma medem 4 m4 \mathrm{~m}4 m.

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Calcule o ângulo que a diagonal de um prisma quadrangular regular de $64 \sqrt{2} \mathrm{~m}^{3}$ de volume forma com as arestas laterais, sabendo que as arestas do base do prisma medem $4 \mathrm{~m}$ .