36) Um pedaço de arame de 40 cm de comprimento foi cortado em dois pedaços de comprimentos diferentes. Os pedaços foram usados para fazer dois quadrados que juntos formam uma área de 58 cm². Determine o comprimento de cada pedaço em que o arame foi cortado.

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos seguir os passos abaixo:

1. **Definir as variáveis:**
   - Seja $ x $ o comprimento do primeiro pedaço de arame.
   - Então, o comprimento do segundo pedaço será $ 40 - x $.

2. **Formar as equações dos quadrados:**
   - O perímetro do primeiro quadrado é $ x $, então cada lado do quadrado tem comprimento $ \frac{x}{4} $.
   - A área do primeiro quadrado será $\left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$.

- O perímetro do segundo quadrado é $ 40 - x $, então cada lado do quadrado tem comprimento $\frac{40-x}{4}$.
   - A área do segundo quadrado será $\left(\frac{40-x}{4}\right)^2 = \frac{(40-x)^2}{16}$.

3. **Somar as áreas dos quadrados:**
   $$
   \frac{x^2}{16} + \frac{(40-x)^2}{16} = 58
   $$

4. **Resolver a equação:**
   $$
   \frac{x^2 + (40-x)^2}{16} = 58
   $$
   Multiplicando ambos os lados por 16:
   $$
   x^2 + (40-x)^2 = 928
   $$
   Expandindo $(40-x)^2$:
   $$
   x^2 + (1600 - 80x + x^2) = 928
   $$
   $$
   2x^2 - 80x + 1600 = 928
   $$
   $$
   2x^2 - 80x + 672 = 0
   $$
   Dividindo por 2:
   $$
   x^2 - 40x + 336 = 0
   $$

5. **Resolver a equação quadrática:**
   Usando a fórmula de Bhaskara:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Onde $ a = 1 $, $ b = -40 $, $ c = 336 $.

$$
   x = \frac{40 \pm \sqrt{(-40)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 336}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1344}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{40 \pm \sqrt{256}}{2}
   $$
   $$
   x = \frac{40 \pm 16}{2}
   $$

As soluções são:
   $$
   x = \frac{56}{2} = 28
   $$
   $$
   x = \frac{24}{2} = 12
   $$

Assim, os comprimentos dos pedaços de arame são 12 cm e 28 cm.

36) Um pedaço de arame de 40 cm de comprimento foi cortado e...

Um pedaço de arame de 40 cm de comprimento foi cortado em dois pedaços de comprimentos diferentes. Os pedaços foram usados para fazer dois quadrados que juntos formam uma área de 58 cm². Determine o comprimento de cada pedaço em que o arame foi cortado.

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