38. (Ufop-MG) O custo total da fabricação de determinado artigo depende do custo de produção, que é de $ R \$ 45,00 $ por unidade fabricada, mais um custo fixo de $ R \$ 2000,00 $. Pede-se:
a) A função que representa o custo total em relação à quantidade fabricada.
b) O custo total da fabricação de 10 unidades.
c) O número de unidades que deverão ser fabricadas para que o custo total seja de $ R \$ 3800,00 $.
d) Ográfico da função custo total, destacando os dados obtidos nos itens anteriores.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver o problema passo a passo.

### a) A função que representa o custo total em relação à quantidade fabricada

O custo total $ C(x) $ é composto pelo custo fixo de $ R\$ 2000,00 $ e pelo custo variável de $ R\$ 45,00 $ por unidade fabricada. Assim, a função custo total pode ser representada por:

$$ C(x) = 2000 + 45x $$

onde:
- $ C(x) $ é o custo total,
- $ x $ é a quantidade de unidades fabricadas.

### b) O custo total da fabricação de 10 unidades

Para encontrar o custo total da fabricação de 10 unidades, substituímos $ x = 10 $ na função $ C(x) $:

$$ C(10) = 2000 + 45 \cdot 10 $$
$$ C(10) = 2000 + 450 $$
$$ C(10) = 2450 $$

Portanto, o custo total para fabricar 10 unidades é $ R\$ 2450,00 $.

### c) O número de unidades que deverão ser fabricadas para que o custo total seja de $ R\$ 3800,00 $

Para encontrar a quantidade de unidades $ x $ para que o custo total seja $ R\$ 3800,00 $, igualamos $ C(x) $ a 3800 e resolvemos para $ x $:

$$ 3800 = 2000 + 45x $$
$$ 3800 - 2000 = 45x $$
$$ 1800 = 45x $$
$$ x = \frac{1800}{45} $$
$$ x = 40 $$

Portanto, devem ser fabricadas 40 unidades para que o custo total seja $ R\$ 3800,00 $.

### d) O gráfico da função custo total, destacando os dados obtidos nos itens anteriores

Para desenhar o gráfico da função $ C(x) $:

1. A função $ C(x) = 2000 + 45x $ é uma linha reta com intercepto $ 2000 $ no eixo $ y $ (custo fixo) e inclinação $ 45 $ (custo variável por unidade).
2. Marcamos os pontos obtidos:
   - Para $ x = 10 $, $ C(10) = 2450 $
   - Para $ x = 40 $, $ C(40) = 3800 $

O gráfico será uma linha reta que passa pelo ponto $ (0, 2000) $ e tem uma inclinação de 45. Aqui está um esboço do gráfico:

$$
\begin{array}{c|c}
x & C(x) \
\hline
0 & 2000 \
10 & 2450 \
40 & 3800 \
\end{array}
$$

E o gráfico:

$$
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines = left,
    xlabel = $x$,
    ylabel = {C(x)},
    ymin=0, ymax=5000,
    xmin=0, xmax=50,
    ytick={0, 2000, 2450, 3800},
    xtick={0, 10, 40},
    grid=major,
    width=12cm,
    height=8cm,
]
\addplot[
    domain=0:50, 
    samples=100, 
    color=blue,
]
{2000 + 45*x};
\addplot[only marks, mark=*] coordinates {(10,2450) (40,3800)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
$$

Os pontos destacados são $ (10, 2450) $ e $ (40, 3800) $.

38. (Ufop-MG) O custo total da fabricação de determinado art...

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