3x + 2y - 4z = 1
x - y + z = 3
x - y - 3z = -3
3x + 3y - 5z = 0
-x + y + z = 1

Question

Accepted Answer

O sistema de equações apresentado é composto por quatro equações lineares com três incógnitas ($x$, $y$, e $z$). Vamos resolver o sistema usando o método da eliminação para encontrar os valores das variáveis.

As equações são:

1. $3x + 2y - 4z = 1$
2. $x - y + z = 3$
3. $x - y - 3z = -3$
4. $3x + 3y - 5z = 0$
5. $-x + y + z = 1$

Como temos mais equações do que incógnitas, o sistema pode ser inconsistente ou ter múltiplas soluções. Vamos tentar resolver:

Primeiro, podemos simplificar algumas equações ou combiná-las para eliminar variáveis. Uma abordagem comum é usar combinações lineares para reduzir o número de equações.

Vamos subtrair a equação (2) da equação (3):

$$
(x - y - 3z) - (x - y + z) = -3 - 3
$$

Isso resulta em:

$$
-4z - z = -6 \Rightarrow -4z + z = -6 \Rightarrow -4z + z = -6
$$

Agora, vamos subtrair a equação (5) da equação (2):

$$
(x - y + z) - (-x + y + z) = 3 - 1
$$

Isso resulta em:

$$
2x - 2y = 2 \Rightarrow x - y = 1
$$

Vamos agora substituir $x - y = 1$ nas demais equações para ver se conseguimos simplificar mais:

Substituindo na equação (1):

$$
3(x - y) + 5y - 4z = 1 \Rightarrow 3(1) + 5y - 4z = 1 \Rightarrow 3 + 5y - 4z = 1
$$

Simplificando:

$$
5y - 4z = -2
$$

Agora, temos um sistema reduzido:

1. $5y - 4z = -2$
2. $x - y = 1$

Podemos expressar $x = y + 1$ e substituir na equação (4):

$$
3(y + 1) + 3y - 5z = 0
$$

Simplificando:

$$
3y + 3 + 3y - 5z = 0 \Rightarrow 6y - 5z = -3
$$

Agora temos duas equações com duas incógnitas:

1. $5y - 4z = -2$
2. $6y - 5z = -3$

Podemos resolver esse sistema para $y$ e $z$. Multiplicamos a primeira equação por 5 e a segunda por 4 para eliminar $z$:

$$
25y - 20z = -10
$$
$$
24y - 20z = -12
$$

Subtraindo as equações:

$$
25y - 24y = -10 + 12 \Rightarrow y = 2
$$

Substituímos $y = 2$ na equação $x = y + 1$:

$$
x = 2 + 1 \Rightarrow x = 3
$$

Substituímos $y = 2$ na equação $5y - 4z = -2$:

$$
5(2) - 4z = -2 \Rightarrow 10 - 4z = -2 \Rightarrow -4z = -12 \Rightarrow z = 3
$$

Portanto, a solução é $x = 3$, $y = 2$, $z = 3$.

3x + 2y - 4z = 1 x - y + z = 3 x - y - 3z = -3 3x + 3y - 5z = 0 -x + y + z = 1