4) (Fuvest - SP) Se a função f: R* \ {2} → R definida por f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} e a função g: R* \ {2} → R definida por g(x) = f(f(x)), calcule o valor de g(g(x)).

Q: 4) (Fuvest - SP) Se a função f: R* \ {2} → R definida por f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} e a função g: R* \ {2} → R definida por g(x) = f(f(x)), calcule o valor de g(g(x)).

Para resolver o problema, temos a função $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} $. Queremos encontrar $ g(x) $ tal que $ g(f(x)) = f(f(x)) $. Primeiro, calculamos $ f(f(x)) $: 1. Substituímos $ f(x) $ na função $ f $: \[ f(f(x)) = f\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) \] 2. Calculamos: \[ f\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) = \frac{2\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) + 1}{\frac{2x + 1}{x - 2} - 2} \] 3. Simplificamos o numerador: \[ 2\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) + 1 = \frac{4x + 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{4x + 2 + x - 2}{x - 2} = \frac{5x}{x - 2} \] 4. Simplificamos o denominador: \[ \frac{2x + 1}{x - 2} - 2 = \frac{2x + 1 - 2(x - 2)}{x - 2} = \frac{2x + 1 - 2x + 4}{x - 2} = \frac{5}{x - 2} \] 5. Portanto: \[ f(f(x)) = \frac{\frac{5x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2}} = x \] Assim, $ g(x) = x $. Logo, o valor de $ g(x) $ é $ x $.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, temos a função $ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2} $.

Queremos encontrar $ g(x) $ tal que $ g(f(x)) = f(f(x)) $.

Primeiro, calculamos $ f(f(x)) $:

1. Substituímos $ f(x) $ na função $ f $:

$$
   f(f(x)) = f\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right)
   $$

2. Calculamos:

$$
   f\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) = \frac{2\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) + 1}{\frac{2x + 1}{x - 2} - 2}
   $$

3. Simplificamos o numerador:

$$
   2\left(\frac{2x + 1}{x - 2}\right) + 1 = \frac{4x + 2}{x - 2} + \frac{x - 2}{x - 2} = \frac{4x + 2 + x - 2}{x - 2} = \frac{5x}{x - 2}
   $$

4. Simplificamos o denominador:

$$
   \frac{2x + 1}{x - 2} - 2 = \frac{2x + 1 - 2(x - 2)}{x - 2} = \frac{2x + 1 - 2x + 4}{x - 2} = \frac{5}{x - 2}
   $$

5. Portanto:

$$
   f(f(x)) = \frac{\frac{5x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2}} = x
   $$

Assim, $ g(x) = x $.

Logo, o valor de $ g(x) $ é $ x $.