4) A partir das
equações de Maxwell na forma integral, escreva as
equações de Maxwell na forma diferencial usando
os teoremas de Gauss (ou da divergência) e o de
Stokes.

Question

Accepted Answer

Para converter as equações de Maxwell na forma integral para a forma diferencial, utilizaremos os teoremas de Gauss (ou da divergência) e de Stokes. Vamos começar com as quatro equações de Maxwell na forma integral:

1. **Lei de Gauss para o campo elétrico**:
$$ \oint_{\partial V} \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0} $$
Esta equação relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada ao total de carga elétrica dentro dessa superfície.

2. **Lei de Gauss para o campo magnético**:
$$ \oint_{\partial V} \vec{B} \cdot d\vec{A} = 0 $$
Isso indica que o número total de linhas de campo magnético que entram em uma superfície fechada é igual ao número total de linhas que saem dela.

3. **Lei de Faraday da indução eletromagnética**:
$$ \oint_{\partial S} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{A} $$
Essa lei descreve como um campo magnético variável no tempo gera um campo elétrico.

4. **Lei de Ampère-Maxwell**:
$$ \oint_{\partial S} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_{S} \vec{E} \cdot d\vec{A} $$
Esta lei relaciona o campo magnético em torno de um loop fechado à corrente elétrica que passa pelo loop, além de incluir um termo de corrente de deslocamento que conta para a variação do campo elétrico.

**Conversão para a forma diferencial:**

1. **Lei de Gauss para o campo elétrico**:
Usando o teorema da divergência, podemos escrever:
$$ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$
onde $\rho$ é a densidade de carga.

2. **Lei de Gauss para o campo magnético**:
Novamente aplicando o teorema da divergência:
$$ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $$

3. **Lei de Faraday da indução eletromagnética**:
Aplicando o teorema de Stokes:
$$ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$

4. **Lei de Ampère-Maxwell**:
Também aplicando o teorema de Stokes:
$$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$
onde $\vec{J}$ é a densidade de corrente.

Essas são as equações de Maxwell na forma diferencial, que relacionam as propriedades dos campos elétricos e magnéticos com suas fontes e com suas variações no tempo e no espaço.

4) A partir das equações de Maxwell na forma integral, escre...

A partir das equações de Maxwell na forma integral, escreva as equações de Maxwell na forma diferencial usando os teoremas de Gauss (ou da divergência) e o de Stokes.

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