4. (2,0 pts) Mostre que a função $ f(x)=\cos x $ é continua em todo $ x \in \mathbb{R} $.

Q: 4. (2,0 pts) Mostre que a função $ f(x)=\cos x $ é continua em todo $ x \in \mathbb{R} $.

Para mostrar que a função $ f(x) = \cos x $ é contínua em todo $ x \in \mathbb{R} $, precisamos verificar a definição de continuidade. A função $ f(x) $ é contínua em um ponto $ c \in \mathbb{R} $ se, e somente se, \[ \lim_{x \to c} f(x) = f(c). \] Vamos demonstrar que isso é verdade para qualquer ponto $ c \in \mathbb{R} $. 1. **Definição da Função:** A função dada é $ f(x) = \cos x $. 2. **Propriedade dos Limites:** Sabemos que uma das propriedades fundamentais das funções trigonométricas é que elas são contínuas em todos os pontos do seu domínio. Em particular, a função cosseno é conhecida por ser contínua em toda a reta real $ \mathbb{R} $. 3. **Aplicando a Definição de Continuidade:** Precisamos mostrar que para qualquer $ c \in \mathbb{R} $, \[ \lim_{x \to c} \cos x = \cos c. \] 4. **Prova do Limite:** Para provar isso formalmente, podemos usar a definição de limite. Seja $ \epsilon > 0 $. Queremos encontrar um $ \delta > 0 $ tal que, se $ 0 0 $, existe um $ \delta > 0 $ tal que, para todos os $ x $ e $ y $ em $ \mathbb{R} $, \[ |x - y| < \delta \implies |\cos x - \cos y| < \epsilon. \] Em particular, tomando $ y = c $, temos que \[ |x - c| < \delta \implies |\cos x - \cos c| < \epsilon. \] Portanto, conseguimos encontrar um $ \delta $ para qualquer $ \epsilon $ dado, satisfazendo a definição de continuidade. Conclusão: A função $ f(x) = \cos x $ é contínua em todo $ x \in \mathbb{R} $.

Question

Accepted Answer

Para mostrar que a função $ f(x) = \cos x $ é contínua em todo $ x \in \mathbb{R} $, precisamos verificar a definição de continuidade. A função $ f(x) $ é contínua em um ponto $ c \in \mathbb{R} $ se, e somente se, $$ \lim_{x \to c} f(x) = f(c). $$ Vamos demonstrar que isso é verdade para qualquer ponto $ c \in \mathbb{R} $. 1. **Definição da Função:** A função dada é $ f(x) = \cos x $. 2. **Propriedade dos Limites:** Sabemos que uma das propriedades fundamentais das funções trigonométricas é que elas são contínuas em todos os pontos do seu domínio. Em particular, a função cosseno é conhecida por ser contínua em toda a reta real $ \mathbb{R} $. 3. **Aplicando a Definição de Continuidade:** Precisamos mostrar que para qualquer $ c \in \mathbb{R} $, $$ \lim_{x \to c} \cos x = \cos c. $$ 4. **Prova do Limite:** Para provar isso formalmente, podemos usar a definição de limite. Seja $ \epsilon > 0 $. Queremos encontrar um $ \delta > 0 $ tal que, se $ 0 < |x - c| < \delta $, então $$ |\cos x - \cos c| < \epsilon. $$ 5. **Continuidade da Função Cosseno:** A função cosseno é uma função trigonométrica que é conhecida por ser uniformemente contínua em $ \mathbb{R} $. Isso significa que para qualquer $ \epsilon > 0 $, existe um $ \delta > 0 $ tal que, para todos os $ x $ e $ y $ em $ \mathbb{R} $, $$ |x - y| < \delta \implies |\cos x - \cos y| < \epsilon. $$ Em particular, tomando $ y = c $, temos que $$ |x - c| < \delta \implies |\cos x - \cos c| < \epsilon. $$ Portanto, conseguimos encontrar um $ \delta $ para qualquer $ \epsilon $ dado, satisfazendo a definição de continuidade. Conclusão: A função $ f(x) = \cos x $ é contínua em todo $ x \in \mathbb{R} $.

4. (2,0 pts) Mostre que a função \( f(x)=\cos x \) é continua em todo \( x \in \mathbb{R} \).