4. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos ângulos das faces é 72 retos.
5. Prove que o número de diagonais de um prisma é igual ao dobro do número de diagonais de uma de suas bases.
6. Calcule a soma dos ângulos das faces de um paralelepípedo.
7. Prove que em um paralelepípedo retângulo a soma dos quadrados das quatro diagonais é igual a soma dos quadrados das doze arestas.
8. Prove que, no cubo ABCDEFHI abaixo, o triângulo BDG é equilátero.
9. Ache a natureza de uma pirâmide, sabendo que a soma dos ângulos das faces é igual a 20 retos.
10. Ache a natureza de uma pirâmide que possui 12 arestas.

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada questão:

4. **Natureza de um prisma com soma dos ângulos das faces igual a 72 retos:**

Um prisma possui $n$ lados em sua base, e cada face lateral é um paralelogramo. A soma dos ângulos de cada face lateral (paralelogramo) é $360^\circ$ ou 4 retos. A soma dos ângulos de todas as faces do prisma é dada por:

$$ \text{Soma} = 2 \times \text{soma dos ângulos da base} + n \times 360^\circ $$

Sabendo que a soma é 72 retos ($72 \times 90^\circ = 6480^\circ$), podemos resolver para $n$.

5. **Prova sobre diagonais de um prisma:**

O número de diagonais de um prisma pode ser calculado pela fórmula geral para diagonais de um poliedro. Um prisma com $n$ lados na base tem $2n$ vértices e a fórmula para diagonais é:

$$ \text{Diagonais} = \frac{n(n-3)}{2} + n^2 $$

Onde o primeiro termo é o número de diagonais de uma base e o segundo é o dobro disso.

6. **Soma dos ângulos de um paralelepípedo:**

Um paralelepípedo tem 6 faces, cada uma com ângulos somando $360^\circ$. Portanto, a soma total é:

$$ 6 \times 360^\circ = 2160^\circ $$

7. **Prova sobre diagonais de um paralelepípedo retângulo:**

Para provar isso, considere o teorema de Pitágoras aplicado às diagonais e arestas. Cada diagonal de um paralelepípedo retângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelas arestas.

8. **Triângulo BDG é equilátero no cubo:**

No cubo, todas as arestas são iguais. Assim, os triângulos formados por três arestas adjacentes são equiláteros.

9. **Natureza de uma pirâmide com soma dos ângulos das faces igual a 20 retos:**

A soma dos ângulos das faces de uma pirâmide é dada por:

$$ \text{Soma} = \text{soma dos ângulos da base} + \text{soma dos ângulos laterais} $$

Se a soma é 20 retos ($1800^\circ$), podemos deduzir o tipo de pirâmide.

10. **Natureza de uma pirâmide com 12 arestas:**

Uma pirâmide com 12 arestas pode ser analisada considerando que uma pirâmide com base quadrada tem 8 arestas (4 na base e 4 laterais). Portanto, uma pirâmide com 12 arestas deve ter uma base hexagonal.

Se precisar de mais detalhes ou cálculos específicos, me avise!

4. Ache a natureza de um prisma, sabendo que a soma dos ângu...

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