4. Ana está organizando um sorteio e para isso ela está fazendo experimentos. Em uma urna, colocou 1.000 cartões iguais, conforme o exemplo da figura a seguir. Numa primeira vez, Ana retira 10 cartões da urna, na segunda vez, ela retira 30 cartões; na terceira vez, aumentando em 20 a quantidade de cartões em cada uma de suas retiradas. Nesse movimento contínuo, depois de quantas retiradas Ana conseguirá esvaziar a urna?

a) 18
b) 16
c) 14
d) 12
e) 10

Question

4. Ana está organizando um sorteio e para isso ela está fazendo experimentos. Em uma urna, colocou 1.000 cartões iguais, conforme o exemplo da figura a seguir. Numa primeira vez, Ana retira 10 cartões da urna, na segunda vez, ela retira 30 cartões; na terceira vez, aumentando em 20 a quantidade de cartões em cada uma de suas retiradas. Nesse movimento contínuo, depois de quantas retiradas Ana conseguirá esvaziar a urna?

a) 18
b) 16
c) 14
d) 12
e) 10

Accepted Answer

Ana começa retirando 10 cartões e aumenta em 20 a quantidade retirada a cada vez. Precisamos saber quantas retiradas são necessárias para esvaziar a urna de 1000 cartões.

A sequência de retiradas é: 10, 30, 50, 70, ...

Podemos escrever isso como uma progressão aritmética, onde:

- Primeiro termo $a_1 = 10$
- Razão $r = 20$

Queremos saber o menor $n$ tal que a soma dos primeiros $n$ termos seja igual a 1000.

A fórmula para a soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é:

$$ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n - 1)r) $$

Substituindo os valores:

$$ 1000 = \frac{n}{2} (2 \cdot 10 + (n - 1) \cdot 20) $$

$$ 1000 = \frac{n}{2} (20 + 20n - 20) $$

$$ 1000 = 10n^2 $$

$$ n^2 = 100 $$

$$ n = 10 $$

Portanto, Ana conseguirá esvaziar a urna após **10 retiradas**.

4. Ana está organizando um sorteio e para isso ela está faze...

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