4) Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:

a) f(x) = 1 / (1 - x)²

b) f(x) = sen(x²)

c) f(x) = x·e^x

d) f(x) = ln(1 + x)

Q: 4) Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções: a) f(x) = 1 / (1 - x)² b) f(x) = sen(x²) c) f(x) = x·e^x d) f(x) = ln(1 + x)

Para encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \sin(x^2) $, precisamos calcular as derivadas de $ f(x) $ e avaliá-las em $ x = 0 $. A série de Maclaurin é dada por: \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \] 1. **Calcular $ f(0) $:** \[ f(0) = \sin(0^2) = \sin(0) = 0 \] 2. **Primeira derivada $ f'(x) $:** \[ f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \] Avaliando em $ x = 0 $: \[ f'(0) = \cos(0^2) \cdot 2 \cdot 0 = 0 \] 3. **Segunda derivada $ f''(x) $:** Para $ f''(x) $, precisamos derivar $ f'(x) = 2x\cos(x^2) $: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}[2x\cos(x^2)] = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2) \] Avaliando em $ x = 0 $: \[ f''(0) = 2\cos(0) - 4 \cdot 0^2 \cdot \sin(0) = 2 \] 4. **Terceira derivada $ f'''(x) $:** Derivando $ f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2) $: \[ f'''(x) = \frac{d}{dx}[2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)] \] \[ f'''(x) = -4x\sin(x^2) - 8x\sin(x^2) - 8x^3\cos(x^2) \] Avaliando em $ x = 0 $: \[ f'''(0) = 0 \] 5. **Quarta derivada $ f^{(4)}(x) $:** Derivando novamente: \[ f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}[-12x\sin(x^2) - 8x^3\cos(x^2)] \] \[ f^{(4)}(x) = -12\cos(x^2) - 24x^2\cos(x^2) + 16x^4\sin(x^2) \] Avaliando em $ x = 0 $: \[ f^{(4)}(0) = -12 \] Agora, substituímos esses valores na série de Maclaurin: \[ f(x) = 0 + 0 \cdot x + \frac{2}{2!}x^2 + 0 \cdot x^3 + \frac{-12}{4!}x^4 + \cdots \] Simplificando: \[ f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots \] Portanto, a série de Maclaurin para $ f(x) = \sin(x^2) $ é: \[ f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots \]

Question

4) Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:

a) f(x) = 1 / (1 - x)²

b) f(x) = sen(x²)

c) f(x) = x·e^x

d) f(x) = ln(1 + x)

Accepted Answer

Para encontrar a série de Maclaurin da função $ f(x) = \sin(x^2) $, precisamos calcular as derivadas de $ f(x) $ e avaliá-las em $ x = 0 $.

A série de Maclaurin é dada por:

$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots
$$

1. **Calcular $ f(0) $:**

$$
   f(0) = \sin(0^2) = \sin(0) = 0
   $$

2. **Primeira derivada $ f'(x) $:**

$$
   f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x
   $$

Avaliando em $ x = 0 $:

$$
   f'(0) = \cos(0^2) \cdot 2 \cdot 0 = 0
   $$

3. **Segunda derivada $ f''(x) $:**

Para $ f''(x) $, precisamos derivar $ f'(x) = 2x\cos(x^2) $:

$$
   f''(x) = \frac{d}{dx}[2x\cos(x^2)] = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)
   $$

Avaliando em $ x = 0 $:

$$
   f''(0) = 2\cos(0) - 4 \cdot 0^2 \cdot \sin(0) = 2
   $$

4. **Terceira derivada $ f'''(x) $:**

Derivando $ f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2) $:

$$
   f'''(x) = \frac{d}{dx}[2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2)]
   $$

$$
   f'''(x) = -4x\sin(x^2) - 8x\sin(x^2) - 8x^3\cos(x^2)
   $$

Avaliando em $ x = 0 $:

$$
   f'''(0) = 0
   $$

5. **Quarta derivada $ f^{(4)}(x) $:**

Derivando novamente:

$$
   f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}[-12x\sin(x^2) - 8x^3\cos(x^2)]
   $$

$$
   f^{(4)}(x) = -12\cos(x^2) - 24x^2\cos(x^2) + 16x^4\sin(x^2)
   $$

Avaliando em $ x = 0 $:

$$
   f^{(4)}(0) = -12
   $$

Agora, substituímos esses valores na série de Maclaurin:

$$
f(x) = 0 + 0 \cdot x + \frac{2}{2!}x^2 + 0 \cdot x^3 + \frac{-12}{4!}x^4 + \cdots
$$

Simplificando:

$$
f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots
$$

Portanto, a série de Maclaurin para $ f(x) = \sin(x^2) $ é:

$$
f(x) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \cdots
$$

4) Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:...

Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:

a) f(x) = 1 / (1 - x)²

b) f(x) = sen(x²)

c) f(x) = x·e^x

d) f(x) = ln(1 + x)

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