4. Na figura, têm-se três circunferências, de centros $ A, B $ e $ C $, tangentes duas a duas. As retas $ \overrightarrow{\mathrm{QC}} $ e $ \overrightarrow{P T} $ săo perpendiculares. Sendo $ 4 \mathrm{mo} $ raio da circunferência maior, quantos metros devemos percorrer para ir de $ P $ a $ Q $, seguindo as flechas?
5. Luana é artesã e faz bordados em bastidor. Para estimar a quantidade de linha que usará na próxima encomenda, ela precisa saber algumas medidas do desenho bordado. Ajude Luana e determine o comprimento do contorno de cada detalhe indicado em azul nas imagens a seguir. Use $ \pi \simeq 3,14 $.
- O bastidor é essa peça que prende o tecido a ser bordado. Pode ser de madeira ou de outros materiais.
b) Para fazer esse detalhe, Luana desenhou um quadrado $ A B C D $ de lado $ 10 \mathrm{~cm} $. Em seguida, traçou as linhas curvas, que são semicircunferências com centros nos pontos médios, $ \mathrm{M} $ e $ \mathrm{N} $, dos lados do quadrado.
6. Você conhece o relógio de pêndulo? Ele foi criado pelo físico holandês Christian Huygens em 1656 a partir do princípio de funcionamento desenvolvido por Galileu Galilei. Uma das peças principais desse tipo de relógio é o pêndulo, responsável por manter o equipamento funcionando.
Suponha que o pêndulo de um relógio tenha comprimento $ 0,5 \mathrm{~m} $ e execute o movimento, de $ A $ para $ B $, indicado na figura.
Determine o comprimento do arco $ \overparen{A B} $ que a extremidade do pêndulo descreve.
7. (OBMEP) Duas formigas partem do ponto $ A $ e vão até o ponto $ D $, andando no sentido indicado pelas flechas. A primeira percorre o semicírculo maior; a segunda, o segmento $ \overline{A B}, 0 $ semicírculo menor e o segmento $ \overline{C D} $. Os pon$ \overline{A B} $ e $ \overline{C D} $ medem $ 1 \mathrm{~cm} $ cada um. Quantos centimetros a segunda formiga andou menos que a primeira?
a) 2
c) $ \frac{\pi}{2} $
e) $ 2 \pi $
b) $ \pi $
d) $ \pi-2 $

Question

Accepted Answer

Vamos resolver cada uma das questões apresentadas.

### Questão 4
Dado que as retas $\overrightarrow{\mathrm{QC}}$ e $\overrightarrow{PT}$ são perpendiculares, e sabendo que o raio da circunferência maior é $4 \, \text{m}$, precisamos determinar a distância total percorrida de $P$ até $Q$. Supondo que as circunferências são tangentes duas a duas, a distância entre dois pontos tangentes em circunferências adjacentes é igual à soma dos raios das circunferências envolvidas. No entanto, sem uma figura específica, não podemos fornecer uma resposta exata.

### Questão 5
Para o detalhe b):

1. O quadrado $ABCD$ tem lado $10 \, \text{cm}$.
2. As semicircunferências têm centros nos pontos médios dos lados do quadrado.

Cada semicircunferência tem um raio de $ \frac{10 \, \text{cm}}{2} = 5 \, \text{cm}$.

O comprimento de uma semicircunferência é dado por:
$$ C_{\text{semi}} = \pi r = \pi \cdot 5 \, \text{cm} $$

Como temos quatro semicircunferências:
$$ C_{\text{total}} = 4 \cdot \pi \cdot 5 \, \text{cm} = 20 \pi \, \text{cm} $$

Utilizando $ \pi \approx 3.14 $:
$$ C_{\text{total}} \approx 20 \cdot 3.14 \, \text{cm} = 62.8 \, \text{cm} $$

Portanto, o comprimento do contorno é aproximadamente $62.8 \, \text{cm}$.

### Questão 6
Para determinar o comprimento do arco $ \overparen{AB} $ que a extremidade do pêndulo descreve, usamos a fórmula do comprimento do arco:
$$ s = r \theta $$

Aqui, $ r = 0.5 \, \text{m} $ e precisamos da medida do ângulo $ \theta $ em radianos. Supondo que o ângulo seja dado (ou se for um ângulo específico como $90^\circ$, que é $\frac{\pi}{2}$ radianos):

$$ s = 0.5 \, \text{m} \cdot \theta $$

Se $ \theta = \frac{\pi}{2} $:
$$ s = 0.5 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \, \text{m} \approx 0.785 \, \text{m} $$

### Questão 7
A primeira formiga percorre o semicírculo maior com raio $2 \, \text{cm}$:
$$ C_{\text{semi}} = \pi r = \pi \cdot 2 \, \text{cm} = 2\pi \, \text{cm} $$

A segunda formiga percorre:
1. Segmento $ \overline{AB} = 1 \, \text{cm} $
2. Semicírculo menor com raio $1 \, \text{cm}$:
$$ C_{\text{semi}} = \pi r = \pi \cdot 1 \, \text{cm} = \pi \, \text{cm} $$
3. Segmento $ \overline{CD} = 1 \, \text{cm} $

Total:
$$ 1 \, \text{cm} + \pi \, \text{cm} + 1 \, \text{cm} = \pi + 2 \, \text{cm} $$

A diferença entre a distância percorrida pela primeira e pela segunda formiga é:
$$ 2\pi \, \text{cm} - (\pi + 2) \, \text{cm} = \pi - 2 \, \text{cm} $$

**Resposta: D**

Portanto, a segunda formiga andou $\pi - 2$ cm menos que a primeira.

4. Na figura, têm-se três circunferências, de centros

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